Номер 95, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.3. Компланарные векторы - номер 95, страница 67.

95 Назовём медианой тетраэдра отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани.

Докажите, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра.

Доказательство.

Пусть точки $A_1$ и $B_1$ — середины отрезков $BC$ и $AC$, $O_1$ и $O_2$ — точки пересечения медиан граней $ABC$ и $BCD$. Обозначим буквой $M$ точку на медиане $DO_1$ тетраэдра, такую, что $DM:MO_1 = 3:1$, буквой $K$ — точку на медиане $AO_2$, такую, что $AK:KO_2 = 3:1$. Докажем, что точки $M$ и $K$ совпадают.

1) Так как $DM:MO_1 = 3:1$, то $\vec{DM} = 3 \vec{MO_1}$, и, следовательно, для произвольной точки $X$ пространства выполняется равенство (см. задание 85)

$\vec{XM} = \frac{\vec{XD} + 3 \vec{XO_1}}{1 + 3}$,

Т. е.

$\vec{XM} = \frac{1}{4} \vec{XD} + \frac{3}{4} \vec{XO_1}$. (1)

2) Медианы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O_1$, поэтому $BO_1 : O_1B_1 = 2 : 1$. Следовательно, $\vec{BO_1} = 2 \vec{O_1B_1}$, и потому для точки $X$ выполняется равенство

$\vec{XO_1} = \frac{\vec{XB} + 2 \vec{XA_1}}{1 + 2}$,

Т. е.

$\vec{XO_1} = \frac{1}{3} \vec{XB} + \frac{2}{3} \vec{XA_1}$. (2)

3) Точка $B_1$ — середина отрезка $AC$, поэтому $\vec{XB_1} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XC})$ (см. задание 83).

4) Подставив выражение для $\vec{XB_1}$ в равенство (2), получим

$\vec{XO_1} = \frac{1}{3} \vec{XB} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XC}) = \frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC})$.

5) Подставим теперь полученное разложение вектора $\vec{XO_1}$ по векторам $\vec{XA}$, $\vec{XB}$ и $\vec{XC}$ в равенство (1):

$\vec{XM} = \frac{1}{4} \vec{XD} + \frac{3}{4} \frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC}) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

6) Аналогично рассуждая для точки $K$ и произвольной точки $X$, получаем равенство

$\vec{XK} = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

Следовательно, точки $M$ и $K$ совпадают, т. е. медианы $DO_1$ и $AO_2$ тетраэдра пересекаются в точке $M$ и делятся ею в отношении $3:1$ , считая от вершин $D$ и $A$ соответственно.

7) Таким же образом это утверждение доказывается и для остальных двух медиан тетраэдра.

Доказательство.

Пусть точки $A_1$ и $B_1$ — середины отрезков $BC$ и $AC$, $O_1$ и $O_2$ — точки пересечения медиан граней $ABC$ и $BCD$. Обозначим буквой $M$ точку на медиане $DO_1$ тетраэдра, такую, что $DM : MO_1 = 3 : 1$, буквой $K$ — точку на медиане $AO_2$, такую, что $AK : KO_2 = 3 : 1$. Докажем, что точки $M$ и $K$ совпадают.

1) Так как $DM : MO_1 = 3 : 1$, то $\vec{DM} = 3\vec{MO_1}$, и, следовательно, для произвольной точки $X$ пространства выполняется равенство (см. задание 85) $\vec{XM} = \frac{\vec{XD} + 3\vec{XO_1}}{1 + 3}$,

т. е.

$\vec{XM} = \frac{1}{4}\vec{XD} + \frac{3}{4}\vec{XO_1}$. (1)

2) Медианы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O_1$, поэтому $BO_1 : O_1B_1 = 2 : 1$. Следовательно, $\vec{BO_1} = 2\vec{O_1B_1}$, и потому для точки $X$ выполняется равенство

$\vec{XO_1} = \frac{\vec{XB} + 2\vec{XB_1}}{1 + 2}$,

т. е.

$\vec{XO_1} = \frac{1}{3}\vec{XB} + \frac{2}{3}\vec{XB_1}$. (2)

3) Точка $B_1$ — середина отрезка $AC$, поэтому $\vec{XB_1} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XC})$ (см. задание 83).

4) Подставив выражение для $\vec{XB_1}$ в равенство (2), получим

$\vec{XO_1} = \frac{1}{3}\vec{XB} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XC}) = \frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC})$.

5) Подставим теперь полученное разложение вектора $\vec{XO_1}$ по векторам $\vec{XA}$, $\vec{XB}$ и $\vec{XC}$ в равенство (1):

$\vec{XM} = \frac{1}{4}\vec{XD} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC}) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

6) Аналогично рассуждая для точки $K$ и произвольной точки $X$, получаем равенство

$\vec{XK} = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

Следовательно, точки $M$ и $K$ совпадают, т. е. медианы $DO_1$ и $AO_2$ тетраэдра пересекаются в точке $M$ и делятся ею в отношении $3:1$, считая от вершин $D$ и $A$ соответственно.

7) Таким же образом это утверждение доказывается и для остальных двух медиан тетраэдра.