Номер 84, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 84, страница 61.

84 Докажите, что три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Доказательство.

Пусть точка K — середина ребра AD тетраэдра ABCD, тогда для любой __________ X пространства выполняется равенство

$ \vec{XK} = \frac{1}{2}\vec{XA} + \underline{\hspace{2em}} \vec{XD} $ (см. задание 83).

Если точка M — середина ребра BC,

то $ \vec{XM} = \frac{1}{2}\underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}} $. Обозначим буквой Q середину отрезка KM, тогда

$ \vec{XQ} = \frac{1}{2}\vec{XK} + \frac{1}{2}\underline{\hspace{2em}} = \frac{1}{2}(\underline{\hspace{2em}} + \vec{XM}) = \frac{1}{2}((\frac{1}{2}\vec{XA} + \frac{1}{2}\underline{\hspace{2em}}) + (\underline{\hspace{2em}} + \frac{1}{2}\vec{XC})) = $

$ = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \underline{\hspace{2em}} + \vec{XD}). $

Обозначим буквами P, T и O середины отрезков AB, __________ и PT.

Тогда $ \vec{XP} = \underline{\hspace{2em}} $, $ \vec{XT} = \underline{\hspace{2em}} $, $ \vec{XO} = \frac{1}{2}(\vec{XP} + \underline{\hspace{2em}}) = $

$ = \frac{1}{2}((\frac{1}{2}\vec{XA} + \underline{\hspace{2em}}) + \frac{1}{2}(\underline{\hspace{2em}})) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}). $

Обозначим буквами E, H и F середины отрезков BD, AC и EH.

Тогда получим $ \vec{XE} = \underline{\hspace{2em}} $, $ \vec{XH} = \underline{\hspace{2em}} $, $ \vec{XF} = \underline{\hspace{2em}} $

$ = \underline{\hspace{2em}} = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}} + \vec{XD}). $

Сравнив полученные выражения для векторов $ \vec{XQ}, \vec{XO} $ и $ \vec{XF} $, делаем вывод: $ \vec{XQ} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}} $. Так как начала этих равных векторов совпадают, то __________ и их концы. Следовательно, середины отрезков KM, PT и __________ совпадают, т. е. эти отрезки __________ в одной точке и делятся этой точкой __________, что и требовалось __________.

Доказательство.Пусть точка K — середина ребра AD тетраэдра ABCD, тогда для любой точки X пространства выполняется равенство $\vec{XK} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XD})$. Если точка M — середина ребра BC, то $\vec{XM} = \frac{1}{2}(\vec{XB} + \vec{XC})$. Обозначим буквой Q середину отрезка KM, тогда радиус-вектор точки Q относительно точки X будет равен:$\vec{XQ} = \frac{1}{2}(\vec{XK} + \vec{XM}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XD}) + \frac{1}{2}(\vec{XB} + \vec{XC})\right) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

Обозначим буквами P, T и O середины отрезков AB, CD и PT соответственно. Отрезок PT соединяет середины второй пары противоположных ребер. Радиус-векторы точек P и T:$\vec{XP} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XB})$$\vec{XT} = \frac{1}{2}(\vec{XC} + \vec{XD})$Тогда радиус-вектор точки O, середины отрезка PT:$\vec{XO} = \frac{1}{2}(\vec{XP} + \vec{XT}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XB}) + \frac{1}{2}(\vec{XC} + \vec{XD})\right) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

Обозначим буквами E, H и F середины отрезков BD, AC и EH соответственно. Отрезок EH соединяет середины третьей пары противоположных ребер. Радиус-векторы точек E и H:$\vec{XE} = \frac{1}{2}(\vec{XB} + \vec{XD})$$\vec{XH} = \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XC})$Тогда радиус-вектор точки F, середины отрезка EH:$\vec{XF} = \frac{1}{2}(\vec{XE} + \vec{XH}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\vec{XB} + \vec{XD}) + \frac{1}{2}(\vec{XA} + \vec{XC})\right) = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$.

Сравнив полученные выражения для векторов $\vec{XQ}$, $\vec{XO}$ и $\vec{XF}$, делаем вывод: $\vec{XQ} = \vec{XO} = \vec{XF}$. Так как начала этих равных векторов (точка X) совпадают, то совпадают и их концы (точки Q, O, F). Следовательно, середины отрезков KM, PT и EH совпадают, т. е. эти отрезки пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Точка пересечения (центр масс тетраэдра) имеет радиус-вектор $\vec{r} = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})$ относительно произвольной точки X.