Номер 78, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 78, страница 58.

78 Докажите, что для любого вектора $\vec{a}$ справедливы равенства:

а) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$;

б) $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Доказательство.

Если $\vec{a} = \vec{0}$, то обе части каждого равенства — нулевые , поэтому равенства справедливы. Пусть $\vec{a} \neq \vec{0}$.

а) По определению произведения вектора на

$|1 \cdot \vec{a}| = |1| \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$, а так как $1 > 0$, то векторы $1 \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ . Следовательно, по определению

равных векторов $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

б) По определению

вектора на число

$|(-1) \cdot \vec{a}| = |-1| \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$, а так как $-1 < 0$, то $(-1) \cdot \vec{a} \uparrow \downarrow \vec{a}$.

Следовательно, векторы $(-1) \cdot \vec{a}$ и противоположны, т. е.

$(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Доказательство справедливо для любого вектора $\vec{a}$.

Сначала рассмотрим случай, когда $\vec{a}$ является нулевым вектором, то есть $\vec{a} = \vec{0}$. В этом случае:

• для равенства а) имеем $1 \cdot \vec{0} = \vec{0}$, что совпадает с правой частью $\vec{a} = \vec{0}$.
• для равенства б) имеем $(-1) \cdot \vec{0} = \vec{0}$, а правая часть $-\vec{a} = -\vec{0} = \vec{0}$.

Таким образом, если $\vec{a} = \vec{0}$, оба равенства верны, так как обе их части равны нулевому вектору.

Теперь рассмотрим случай, когда $\vec{a} \neq \vec{0}$.

а) Докажем равенство $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

По определению произведения вектора на число, модуль (длина) вектора $k \cdot \vec{a}$ равен $|k| \cdot |\vec{a}|$, а его направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$.

Для вектора $1 \cdot \vec{a}$ имеем:

1. Модуль вектора: $|1 \cdot \vec{a}| = |1| \cdot |\vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длины векторов $1 \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ равны.
2. Направление вектора: так как коэффициент $1 > 0$, то вектор $1 \cdot \vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$.

Поскольку векторы $1 \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ имеют одинаковые модули и одинаковое направление, они равны по определению равенства векторов. Следовательно, $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$.

Ответ: Равенство $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ доказано.

б) Докажем равенство $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Аналогично пункту а), воспользуемся определением произведения вектора на число.

Для вектора $(-1) \cdot \vec{a}$ имеем:

1. Модуль вектора: $|(-1) \cdot \vec{a}| = |-1| \cdot |\vec{a}| = 1 \cdot |\vec{a}| = |\vec{a}|$. Таким образом, длины векторов $(-1) \cdot \vec{a}$ и $\vec{a}$ равны.
2. Направление вектора: так как коэффициент $-1 < 0$, то вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$.

Вектор, имеющий тот же модуль, что и вектор $\vec{a}$, но противоположное направление, называется противоположным вектором и обозначается как $-\vec{a}$.

Вектор $(-1) \cdot \vec{a}$ имеет тот же модуль, что и $\vec{a}$, и направлен в противоположную сторону. Следовательно, он является вектором, противоположным вектору $\vec{a}$. Таким образом, $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Ответ: Равенство $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ доказано.