Номер 79, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 79, страница 58.

Дана треугольная пирамида MABC,

$\vec{MA} = \vec{a}$, $\vec{MB} = \vec{b}$, $\vec{MC} = \vec{c}$.

a) Отложите от точки M вектор:

$\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{b}$; $\vec{y} = \frac{1}{2}\vec{c}$; $\vec{z} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$;

$\vec{m} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$.

б) Отложите от точки A вектор

$\vec{n} = -\frac{2}{3}\vec{m}$.

Решение.

a) Так как $\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{b}$, то по определению произведения вектора на ______.

$\vec{x} \uparrow\uparrow$ ______ и $|\vec{x}| = ______ |\vec{b}|$. Отметим середину ребра MB — точку E,

тогда $\vec{ME} = \underline{\hspace{2em}} \vec{b} = \vec{x}$. Аналогично отметим точку H — _______

ребра MC, тогда $\vec{MH} = \underline{\hspace{2em}} \vec{c} = \underline{\hspace{2em}}$.

Так как $\vec{z} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$, $ \vec{z} = \vec{ME} + \underline{\hspace{2em}}$. Построим вектор $\vec{z}$ по

______ параллелограмма. Для этого через точку E проведём

_______, параллельную прямой MC, а через точку H — прямую,

______ прямой _______. По теореме ________ эти

прямые пересекут отрезок BC в его _______. Обозначим эту точку

буквой K. Тогда $\vec{z} = \underline{\hspace{2em}}$.

$\vec{m} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{a} - (\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c})$ — первый ______

_______ закон. Но $\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{z} = \vec{MK}$, а _______, следовательно,

$\vec{m} = \underline{\hspace{2em}} - \underline{\hspace{2em}}$, т. е. $\vec{MA} = \underline{\hspace{2em}} + \vec{m}$. Поэтому $\vec{m} = \underline{\hspace{2em}}$.

б) Так как $\vec{n} = -\frac{2}{3}\vec{m}$ и $-\frac{2}{3} < 0$, то $\vec{n} \underline{\hspace{2em}} \vec{m}$ и $|\vec{n}| = \underline{\hspace{2em}} |\vec{m}|$.

Отложим от точки A вектор $\vec{n}$. Для этого на отрезке AK нужно отметить точку O так, чтобы $\vec{AO} = \underline{\hspace{2em}} \vec{AK}$. Тогда $\vec{AO} = \underline{\hspace{2em}} \vec{AK} = \underline{\hspace{2em}}$

$ = \underline{\hspace{2em}} \vec{m} = \vec{n}$.

а) Так как $\vec{x} = \frac{1}{2}\vec{b}$, то по определению произведения вектора на число, $\vec{x} \uparrow\uparrow$ $\vec{b}$ и $|\vec{x}| = $ $\frac{1}{2}$ $|\vec{b}|$. Отметим середину ребра MB — точку E, тогда $\vec{ME} = $ $\frac{1}{2}\vec{MB} = \frac{1}{2}$ $\vec{b} = \vec{x}$. Аналогично отметим точку H — середину ребра MC, тогда $\vec{MH} = $ $\frac{1}{2}\vec{MC} = \frac{1}{2}$ $\vec{c} = \vec{y}$.
Так как $\vec{z} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$, $\vec{z} = \vec{ME} + $ $\vec{MH}$. Построим вектор $\vec{z}$ по правилу параллелограмма. Для этого через точку E проведём прямую, параллельную прямой MC, а через точку H — прямую, параллельную прямой MB. По теореме Фалеса эти прямые пересекут отрезок BC в его середине. Обозначим эту точку буквой K. Тогда $\vec{z} = $ $\vec{MK}$.
$\vec{m} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{a} - (\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})$ — первый вычитания векторов закон. Но $\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{z} = \vec{MK}$, а $\vec{a} = \vec{MA}$, следовательно, $\vec{m} = $ $\vec{MA}$ - $\vec{MK}$, т. е. $\vec{MA} = $ $\vec{MK}$ + $\vec{m}$. Поэтому $\vec{m} = $ $\vec{KA}$.

Ответ: Вектор $\vec{x}$ откладывается от точки M и является вектором $\vec{ME}$, где E — середина ребра MB. Вектор $\vec{y}$ — это вектор $\vec{MH}$, где H — середина ребра MC. Вектор $\vec{z}$ — это вектор $\vec{MK}$, где K — середина стороны BC. Вектор $\vec{m}$ — это вектор $\vec{KA}$, где K — середина стороны BC.

б) Так как $\vec{n} = -\frac{2}{3}\vec{m}$ и $-\frac{2}{3} < 0$, то вектор $\vec{n}$ противоположно направлен вектору $\vec{m}$ и его длина составляет $\frac{2}{3}$ длины вектора $\vec{m}$. Отложим от точки А вектор $\vec{n}$. Для этого на отрезке АК нужно отметить точку О так, чтобы $AO = $ $\frac{2}{3}$ $AK$. Тогда $\vec{AO} = $ $\frac{2}{3}$ $\vec{AK} = $ $-\frac{2}{3}$ $\vec{m} = \vec{n}$.

Ответ: Вектор $\vec{n}$ откладывается от точки A и является вектором $\vec{AO}$, где точка O лежит на отрезке AK (K — середина BC) и делит его так, что $AO : OK = 2:1$.