Номер 75, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 75, страница 57.

75 Упростите выражение:

а) $\vec{AB} - \vec{KB} + \vec{MC} - \vec{MO} - \vec{OK};$

б) $\vec{KM} - \vec{AP} - \vec{PM} + \vec{CE} - \vec{CA}.$

Решение.

а) $\vec{AB} - \vec{KB} + \underline{\quad} - \vec{MO} - \vec{OK} = \vec{AB} + \vec{BK} + \vec{MC} + \underline{\quad} - \vec{OK} = \underline{\quad} + \underline{\quad} + \vec{OM} + \vec{MC} + (-\underline{\quad}) = \vec{AK} + \underline{\quad} + \underline{\quad} + \vec{OC} = \vec{AO} + \underline{\quad} = \underline{\quad}$

б) $\vec{KM} - \vec{AP} - \vec{PM} + \vec{CE} - \vec{CA} = \vec{KM} - \vec{PM} - \underline{\quad} - \vec{CA} + \underline{\quad} = \vec{KM} + \underline{\quad} + \vec{PA} + \underline{\quad} + \vec{CE} = \vec{KP} + \underline{\quad} + \vec{CE} = \underline{\quad} + \underline{\quad} = \underline{\quad}$

Ответ. а) $\underline{\quad}$ ; б) $\underline{\quad}$

а) Упростите выражение: $\vec{AB} - \vec{KB} + \vec{MC} - \vec{MO} - \vec{OK}$

Для упрощения векторного выражения будем использовать следующие правила:

• Замена вычитания вектора на сложение с противоположным вектором: $-\vec{XY} = \vec{YX}$.
• Правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов: $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

1. Преобразуем вычитание в сложение:

$\vec{AB} - \vec{KB} + \vec{MC} - \vec{MO} - \vec{OK} = \vec{AB} + \vec{BK} + \vec{MC} + \vec{OM} - \vec{OK}$

2. Сгруппируем векторы, чтобы применить правило треугольника. Сложение векторов коммутативно и ассоциативно, поэтому мы можем менять их местами и группировать по-разному.

$(\vec{AB} + \vec{BK}) + (\vec{OM} + \vec{MC}) - \vec{OK}$

3. Выполним сложение в скобках:

$\vec{AB} + \vec{BK} = \vec{AK}$

$\vec{OM} + \vec{MC} = \vec{OC}$

4. Подставим полученные результаты в выражение:

$\vec{AK} + \vec{OC} - \vec{OK}$

5. Снова заменим вычитание на сложение:

$\vec{AK} + \vec{OC} + \vec{KO}$

6. Переставим слагаемые и применим правило треугольника еще раз:

$(\vec{AK} + \vec{KO}) + \vec{OC} = \vec{AO} + \vec{OC}$

7. Окончательно получаем:

$\vec{AO} + \vec{OC} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

б) Упростите выражение: $\vec{KM} - \vec{AP} - \vec{PM} + \vec{CE} - \vec{CA}$

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Заменим вычитание на сложение противоположных векторов:

$\vec{KM} - \vec{AP} - \vec{PM} + \vec{CE} - \vec{CA} = \vec{KM} + \vec{PA} + \vec{MP} + \vec{CE} + \vec{AC}$

2. Перегруппируем слагаемые, чтобы составить "цепочку" векторов по правилу треугольника:

$\vec{KM} + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{AC} + \vec{CE}$

3. Последовательно складываем векторы:

$(\vec{KM} + \vec{MP}) + \vec{PA} + \vec{AC} + \vec{CE} = \vec{KP} + \vec{PA} + \vec{AC} + \vec{CE}$

$(\vec{KP} + \vec{PA}) + \vec{AC} + \vec{CE} = \vec{KA} + \vec{AC} + \vec{CE}$

$(\vec{KA} + \vec{AC}) + \vec{CE} = \vec{KC} + \vec{CE}$

4. Последний шаг сложения:

$\vec{KC} + \vec{CE} = \vec{KE}$

Ответ: $\vec{KE}$