Номер 69, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.1. Понятие вектора в пространстве - номер 69, страница 53.

69 Измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны 3 м, 4 м и 12 м. Найдите длину векторов: а) $\vec{AC_1}$; б) $\vec{C_1A}$; в) $\vec{A_1C}$.

Решение.

а) Длина вектора $\vec{AC_1}$

Длина вектора $\vec{AC_1}$ — это длина __________ $AC_1$. Отрезок $AC_1$ является __________ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, следовательно, $AC_1 = \sqrt{3^2 + \underline{\hspace{1em}} + \underline{\hspace{1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1em}}} = \underline{\hspace{1em}}$ (см), т. е. $|\vec{AC_1}| = \underline{\hspace{1em}}$ см.

б) Вектор $\vec{C_1A}$

Вектор $\vec{C_1A}$ является __________ вектору $\vec{AC_1}$, следовательно, их __________ равны, т. е. $|\vec{C_1A}| = |\underline{\hspace{1em}}| = \underline{\hspace{1em}}$ (см).

в) Длина вектора $\vec{A_1C}$

Длина вектора $\vec{A_1C}$ равна __________ диагонали $A_1C$. Диагонали прямоугольного __________ равны, значит, $|\vec{A_1C}| = \underline{\hspace{1em}}$ см.

Ответ. а) $|\vec{AC_1}| = \underline{\hspace{1em}}$ см; б) $|\vec{C_1A}| = \underline{\hspace{1em}}$ см; в) $|\vec{A_1C}| = \underline{\hspace{1em}}$ см.

а) Длина вектора $\vec{AC_1}$ — это длина пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Квадрат длины пространственной диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты).
Пусть измерения параллелепипеда равны $a=3$ м, $b=4$ м, $c=12$ м.
Тогда длина вектора (модуль вектора) $|\vec{AC_1}|$ вычисляется по формуле:
$|\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ м.
Ответ: 13.

б) Вектор $\vec{C_1A}$ является противоположным вектору $\vec{AC_1}$. Это означает, что он имеет ту же длину, но направлен в противоположную сторону. Длины (модули) противоположных векторов равны.
Следовательно, $|\vec{C_1A}| = |\vec{AC_1}| = 13$ м.
Ответ: 13.

в) Длина вектора $\vec{A_1C}$ равна длине пространственной диагонали $A_1C$. В прямоугольном параллелепипеде все четыре пространственные диагонали ($AC_1$, $BD_1$, $A_1C$, $B_1D$) равны между собой.
Следовательно, длина диагонали $A_1C$ равна длине диагонали $AC_1$.
$|\vec{A_1C}| = |\vec{AC_1}| = 13$ м.
Ответ: 13.