Номер 65, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5.4. Объём шара и площадь сферы - номер 65, страница 50.

65 Расстояние между двумя плоскостями, перпендикулярными диаметру шара и расположенными по одну сторону от его центра, равно 1 см, радиусы сечений равны $3\sqrt{3}$ см и $4\sqrt{2}$ см. Найдите объём шарового слоя, заключённого между этими плоскостями.

Решение.

Пусть шар с центром $O$ пересечён плоскостями $\alpha$ и $\beta$, перпендикулярными его диаметру $CD$, $A$ и $B$ — точки пересечения диаметра $CD$ этими плоскостями (см. рис. а). Тогда $AB = 1$, а объём слоя, т. е. части шара, заключённой между этими плоскостями, равен разности объёмов двух шаровых сегментов, один из которых имеет высоту $AC$, а другой — _______.

Так как объём шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{\text{сегм}} = \pi h^2 (R - \frac{1}{3}h)$, где $R$ — _______, $h$ — _______, то необходимо найти $R$ и высоты $h_1 = AC$ и $h_2 = BC$.

Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через диаметр $CD$. Эта плоскость пересекает основания указанных шаровых сегментов по их диаметрам $MM_1$ и $NN_1$ (см. рис. б). В _______ треугольниках $OAM$ и $OBN$ имеем: $OM = ON = _______, AM = _______, BN = _______$. Пусть $OA = x$, тогда $OB = _______$ .

По теореме Пифагора $R^2 = x^2 + _______, R^2 = _______ + 27$. Отсюда получаем $x^2 + 32 = (1 + x)^2 + 27$, или $x^2 + 32 = _______$, и, следовательно, $x = OA = _______$.

Далее, $R = \sqrt{x^2 + _______} = \sqrt{_______} = _______$ (см), $h_1 = AC = OC - _______ = _______ = _______ = 4$ см, $h_2 = BC = AC - _______ = _______$.

Таким образом, $V_{\text{слоя}} = \pi h_1^2 (R - \frac{1}{3}h_1) - _______ = _______ = _______$ (см³).

Ответ. _______ см³.

Решение.

Пусть шар с центром О пересечён плоскостями $\alpha$ и $\beta$, перпендикулярными его диаметру CD, А и В — точки пересечения диаметра CD этими плоскостями (см. рис. а). Тогда AB = 1 см, а объём слоя, т. е. части шара, заключённой между этими плоскостями, равен разности объёмов двух шаровых сегментов, один из которых имеет высоту АС, а другой — BC.

Так как объём шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сегм} = \pi h^2 (R - \frac{1}{3}h)$, где R — радиус шара, h — высота сегмента, то необходимо найти R и высоты $h_1 = AC$ и $h_2 = BC$.

Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через диаметр CD. Эта плоскость пересекает основания указанных шаровых сегментов по их диаметрам $MM_1$ и $NN_1$ (см. рис. б). В прямоугольных треугольниках OAM и OBN имеем: $OM = ON = R$, $AM = 4\sqrt{2}$, $BN = 3\sqrt{3}$. Пусть $OA = x$, тогда $OB = x + 1$.

По теореме Пифагора $R^2 = x^2 + (4\sqrt{2})^2$, $R^2 = (x + 1)^2 + 27$. Отсюда получаем $x^2 + 32 = (1 + x)^2 + 27$, или $x^2 + 32 = x^2 + 2x + 1 + 27$, и, следовательно, $x = OA = 2$ (см).

Далее, $R = \sqrt{x^2 + 32} = \sqrt{2^2 + 32} = 6$ (см), $h_1 = AC = OC - OA = R - x = 6 - 2 = 4$ см, $h_2 = BC = AC - AB = 4 - 1 = 3$ (см).

Таким образом, $V_{слоя} = \pi h_1^2(R - \frac{1}{3}h_1) - \pi h_2^2(R - \frac{1}{3}h_2)$
$= \pi \cdot 4^2(6 - \frac{4}{3}) - \pi \cdot 3^2(6-1) = \frac{224\pi}{3} - 45\pi = \frac{89\pi}{3}$ (см³).

Ответ: $\frac{89\pi}{3}$ см³.