Номер 68, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

6.1. Понятие вектора в пространстве - номер 68, страница 53.

68 Точка O — середина диагонали $AC_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка M — середина ребра $AA_1$.

1) Используя обозначенные на рисунке точки, нарисуйте векторы:

a) коллинеарные вектору $\vec{BD}$;

б) сонаправленные с вектором $\vec{BA}$;

в) противоположно направленные по отношению к вектору $\vec{OM}$;

г) равные вектору $\vec{CC_1}$.

2) Сколько векторов, равных вектору $\vec{C_1O}$, можно отложить от точки O?

Ответ. 1) а) _____, _____, _____; б) _____, _____, _____; в) _____, _____; г) _____, _____.

2) От точки O можно отложить только _____ вектору $\vec{C_1O}$.

1) а) Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Вектор $\vec{BD}$ является диагональю основания $ABCD$ параллелепипеда.
Вектор $\vec{DB}$ лежит на той же прямой, что и $\vec{BD}$, и направлен в противоположную сторону, поэтому он коллинеарен $\vec{BD}$.
Основание $A_1B_1C_1D_1$ параллельно основанию $ABCD$, поэтому диагональ $B_1D_1$ параллельна диагонали $BD$. Следовательно, вектор $\vec{B_1D_1}$ коллинеарен вектору $\vec{BD}$.
Аналогично, вектор $\vec{D_1B_1}$ также коллинеарен $\vec{BD}$.
Ответ: $\vec{B_1D_1}$, $\vec{DB}$, $\vec{D_1B_1}$.

1) б) Сонаправленными называются векторы, которые коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону. Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$.
В параллелограмме $ABCD$ стороны $BA$ и $CD$ параллельны и равны. Вектор $\vec{CD}$ имеет то же направление и ту же длину, что и $\vec{BA}$, поэтому $\vec{CD}$ сонаправлен с $\vec{BA}$.
Аналогично, в параллелограмме верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{C_1D_1}$ сонаправлен с $\vec{B_1A_1}$.
Так как грани параллельны, то $\vec{BA} \uparrow\uparrow \vec{B_1A_1} \uparrow\uparrow \vec{CD} \uparrow\uparrow \vec{C_1D_1}$.
Ответ: $\vec{CD}$, $\vec{C_1D_1}$, $\vec{B_1A_1}$.

1) в) Противоположно направленные векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Сначала определим направление вектора $\vec{OM}$.
Точка $O$ — середина диагонали $AC_1$, а точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Вектор $\vec{OM}$ можно выразить как разность векторов с общим началом, например, в точке $A$: $\vec{OM} = \vec{AM} - \vec{AO}$.
Так как $M$ — середина $AA_1$, то $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$.
Так как $O$ — середина $AC_1$, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC_1}$.
$\vec{AC_1}$ — диагональ параллелепипеда, и ее можно разложить по ребрам: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.
Тогда $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} - \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}) = \frac{1}{2}\vec{AA_1} - \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.
По правилу параллелограмма, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Следовательно, $\vec{OM} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.
Это означает, что вектор $\vec{OM}$ направлен противоположно вектору $\vec{AC}$ (и сонаправлен с $\vec{CA}$).
Векторы, противоположно направленные вектору $\vec{OM}$, должны быть сонаправлены с вектором $\vec{AC}$. Примерами таких векторов являются сам вектор $\vec{AC}$ и равный ему вектор $\vec{A_1C_1}$.
Ответ: $\vec{AC}$, $\vec{A_1C_1}$.

1) г) Равными называются векторы, которые сонаправлены и имеют одинаковую длину. Вектор $\vec{CC_1}$ — это боковое ребро параллелепипеда. Все боковые ребра параллелепипеда ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) параллельны и равны по длине. Векторы, направленные так же, как $\vec{CC_1}$ (от нижнего основания к верхнему), будут ему равны.
Ответ: $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{DD_1}$.

2) От любой точки пространства можно отложить только один вектор, равный данному ненулевому вектору. Таким образом, от точки $O$ можно отложить только один вектор, равный $\vec{C_1O}$.
Найдем, что это за вектор. Пусть это вектор $\vec{OP}$. По условию $\vec{OP} = \vec{C_1O}$.
Точка $O$ является серединой диагонали $AC_1$. Это означает, что векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC_1}$ равны: $\vec{AO} = \vec{OC_1}$.
Вектор $\vec{C_1O}$ является противоположным вектору $\vec{OC_1}$, то есть $\vec{C_1O} = -\vec{OC_1}$.
Подставляя $\vec{OC_1} = \vec{AO}$, получаем: $\vec{C_1O} = -\vec{AO}$.
Вектор $-\vec{AO}$ равен вектору $\vec{OA}$.
Таким образом, $\vec{C_1O} = \vec{OA}$.
Следовательно, вектор, который можно отложить от точки $O$ и который равен вектору $\vec{C_1O}$, — это вектор $\vec{OA}$.
Ответ: От точки $O$ можно отложить только один вектор, равный вектору $\vec{C_1O}$, и это вектор $\vec{OA}$.