Номер 63, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5.4. Объём шара и площадь сферы - номер 63, страница 49.

63 Найдите отношение объёмов шара и цилиндра, если высота цилиндра равна его диаметру, а радиус шара равен радиусу цилиндра.

Решение.

Пусть $r$ — радиус цилиндра, тогда его высота равна ___________, а радиус шара равен $r$. Следовательно, $V_{\text{цил}}$ = ___________ = ___________,

$V_{\text{шара}}$ = ___________ и $\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цил}}}$ = ___________ = ___________

Ответ.

___________

Решение.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра. Согласно условию задачи, высота цилиндра $h$ равна его диаметру $d$. Поскольку диаметр равен двум радиусам ($d = 2r$), то высота цилиндра $h = 2r$.

Радиус шара, по условию, равен радиусу цилиндра, следовательно, радиус шара также равен $r$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$. Подставим значение высоты $h = 2r$:

$V_{цил} = \pi r^2 \cdot (2r) = 2\pi r^3$

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Теперь найдем искомое отношение объемов шара и цилиндра:

$\frac{V_{шара}}{V_{цил}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3}$

Сократим общий множитель $\pi r^3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{V_{шара}}{V_{цил}} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.