Страница 49 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

63 Найдите отношение объёмов шара и цилиндра, если высота цилиндра равна его диаметру, а радиус шара равен радиусу цилиндра.

Решение.

Пусть $r$ — радиус цилиндра, тогда его высота равна ___________, а радиус шара равен $r$. Следовательно, $V_{\text{цил}}$ = ___________ = ___________,

$V_{\text{шара}}$ = ___________ и $\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цил}}}$ = ___________ = ___________

Ответ.

___________

Решение.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра. Согласно условию задачи, высота цилиндра $h$ равна его диаметру $d$. Поскольку диаметр равен двум радиусам ($d = 2r$), то высота цилиндра $h = 2r$.

Радиус шара, по условию, равен радиусу цилиндра, следовательно, радиус шара также равен $r$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$. Подставим значение высоты $h = 2r$:

$V_{цил} = \pi r^2 \cdot (2r) = 2\pi r^3$

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Теперь найдем искомое отношение объемов шара и цилиндра:

$\frac{V_{шара}}{V_{цил}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3}$

Сократим общий множитель $\pi r^3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{V_{шара}}{V_{цил}} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

64 Шар и цилиндр имеют равные объёмы, причём радиус шара равен $3/5$ высоты цилиндра. Найдите отношение радиусов шара и цилиндра.

Объёмы данных тел вычисляются по формулам $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi \cdot R^3$,
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 \cdot h$, где $R$ — радиус шара, $r$ — радиус цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

Так как по условию объёмы шара и цилиндра равны, то $V_{\text{шара}} = V_{\text{цил}}$, откуда $\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi r^2 h$. Поскольку по условию $R = \frac{3}{5}h$, то $h = \frac{5}{3}R$, и поэтому $\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi r^2 \left(\frac{5}{3}R\right)$. Отсюда получим

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{5}{4}$, т. е. $\frac{R}{r} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Обозначим радиус шара как $R$, а радиус основания и высоту цилиндра как $r$ и $h$ соответственно.

Объём шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V_{цилиндра} = \pi r^2 h$.

Согласно условию задачи, объёмы шара и цилиндра равны, то есть $V_{шара} = V_{цилиндра}$. Запишем это равенство, подставив формулы объёмов:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi r^2 h$

Мы можем сократить обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{4}{3} R^3 = r^2 h$

Также из условия известно, что радиус шара равен $\frac{3}{5}$ высоты цилиндра:

$R = \frac{3}{5}h$

Из этого соотношения выразим высоту цилиндра $h$ через радиус шара $R$:

$h = \frac{5}{3}R$

Теперь подставим полученное выражение для $h$ в уравнение равенства объёмов:

$\frac{4}{3} R^3 = r^2 \cdot \left(\frac{5}{3}R\right)$

Поскольку радиус шара $R$ не может быть равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $R$:

$\frac{4}{3} R^2 = \frac{5}{3} r^2$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$4 R^2 = 5 r^2$

Нам нужно найти отношение радиусов шара и цилиндра, то есть $\frac{R}{r}$. Для этого сначала найдём отношение их квадратов $\frac{R^2}{r^2}$:

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{5}{4}$

Чтобы найти $\frac{R}{r}$, извлечём квадратный корень из обеих частей равенства. Так как радиусы являются положительными величинами, мы берём положительное значение корня:

$\frac{R}{r} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, отношение радиуса шара к радиусу цилиндра равно $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.