Страница 44 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

58 В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 12 см. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объём пирамиды.

Решение.

Пусть $MABC$ — данная пирамида, отрезок $MO$ — её высота. Тогда $\angle MAO$ = ______ = ______, и треугольники $MAO, MBO$ и ______ равны по ______.

(MO = ______ ) и ______, а значит, точка O — центр ______.

и $R = OA$ — её радиус.

Искомый объём ______ вычисляется по формуле

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot ______$

Площадь треугольника $ABC$ находим по формуле Герона:

$S_{ABC} = \sqrt{p \cdot ______ \cdot ______ \cdot ______} = ______ = ______ (см^2)$ .

Далее найдём $R$, воспользовавшись формулой $R = (abc) : ______$, и получаем $R = ______$ см.

Из ______ треугольника $MAO$ находим ______.

$MO = R \cdot ______ = ______ (см)$ .

Итак, $V = ______ = ______ (см^3)$ .

Ответ. ______ $см^3$ .

Решение.

Пусть $MABC$ – данная пирамида, а отрезок $MO$ – её высота. По условию, все боковые рёбра ($MA$, $MB$, $MC$) наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Угол между ребром и плоскостью – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекциями рёбер $MA$, $MB$, $MC$ на плоскость основания $ABC$ являются отрезки $OA$, $OB$, $OC$ соответственно.

Следовательно, $\angle MAO = \angle MBO = \angle MCO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MAO$, $\triangle MBO$ и $\triangle MCO$. Они являются прямоугольными, так как $MO$ – высота. У них есть общий катет $MO$ и равные острые углы ($\angle MAO = \angle MBO = \angle MCO = 45^\circ$). Значит, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны: $OA = OB = OC$. Точка $O$, равноудалённая от всех вершин треугольника $ABC$, является центром описанной около него окружности. Таким образом, $R = OA$ – радиус этой окружности.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot MO$.

1. Нахождение площади основания $S_{ABC}$

Основанием является равнобедренный треугольник со сторонами $a=10$ см, $b=10$ см, $c=12$ см. Найдём его площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.

$p = \frac{10+10+12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

$S_{ABC} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$ см$^2$.

2. Нахождение радиуса описанной окружности $R$

Радиус описанной окружности для треугольника находится по формуле $R = \frac{abc}{4S}$.

$R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4} = 6.25$ см.

3. Нахождение высоты пирамиды $MO$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$. Мы знаем катет $OA = R = \frac{25}{4}$ см и угол $\angle MAO = 45^\circ$. Высоту $MO$ можно найти через тангенс этого угла:

$\text{tg}(\angle MAO) = \frac{MO}{OA} \Rightarrow MO = OA \cdot \text{tg}(45^\circ)$.

Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, то $MO = OA = R = \frac{25}{4}$ см.

4. Нахождение объёма пирамиды $V$

Теперь, зная площадь основания и высоту, найдём объём пирамиды.

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot MO = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot \frac{25}{4} = 16 \cdot \frac{25}{4} = 4 \cdot 25 = 100$ см$^3$.

Ответ: $100$ см$^3$.