Страница 39 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

51 Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны $\sqrt{5}$ см, $\sqrt{10}$ см и $\sqrt{13}$ см. Найдите объём параллелепипеда.

Решение.

На рисунке к задаче 50 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $BD = \sqrt{5}$ см, $DC_1 = \sqrt{10}$ см, $BC_1 = \sqrt{13}$ см.

Тогда $\begin{cases} AB^2 + AD^2 = \text{____} \\ AB^2 + CC_1^2 = \text{____} \\ AD^2 + CC_1^2 = \text{____} \end{cases}$. Отсюда

$2AB^2 + 2AD^2 + 2CC_1^2 = \text{____}, AB^2 + AD^2 + CC_1^2 = \text{____}, AC_1 = \text{____} \text{ см}$

(так как в прямоугольном параллелепипеде $\text{____}$).

Теперь находим измерения параллелепипеда:

$AB = \sqrt{AC_1^2 - \text{____}} = \sqrt{\text{____} - \text{____}} = \text{____} \text{(см)},$

$AD = \sqrt{AC_1^2 - \text{____}} = \sqrt{\text{____} - \text{____}} = \text{____} \text{(см)},$

$CC_1 = \sqrt{BC_1^2 - \text{____}} = \sqrt{\text{____} - \text{____}} = \text{____} \text{(см)}.$

Итак, $V = \text{____} = \text{____} \text{(см}^3)$.

Ответ. $\text{____} \text{см}^3$

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда находятся по теореме Пифагора как гипотенузы в прямоугольных треугольниках, образованных рёбрами. Квадраты диагоналей трёх граней с общей вершиной равны $a^2+b^2$, $a^2+c^2$ и $b^2+c^2$.

По условию задачи даны длины диагоналей: $\sqrt{5}$ см, $\sqrt{10}$ см и $\sqrt{13}$ см. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \\ a^2 + c^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 \\ b^2 + c^2 = (\sqrt{13})^2 = 13 \end{cases}$

1. Нахождение суммы квадратов измерений

Сложим все три уравнения системы:

$(a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = 5 + 10 + 13$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 28$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a^2 + b^2 + c^2 = 14$

2. Нахождение измерений параллелепипеда

Теперь, зная сумму квадратов измерений ($14$), мы можем найти квадрат каждого измерения, вычитая из этой суммы соответствующее уравнение из исходной системы:

$a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 14 - 13 = 1 \implies a = \sqrt{1} = 1$ см.
$b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + c^2) = 14 - 10 = 4 \implies b = \sqrt{4} = 2$ см.
$c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 14 - 5 = 9 \implies c = \sqrt{9} = 3$ см.

Таким образом, измерения параллелепипеда равны 1 см, 2 см и 3 см.

3. Нахождение объёма параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение трёх его измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

$V = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ см$^3$.

Ответ: $6$ см$^3$.

52 Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 4 см и составляет с диагональю основания угол в 30°. Через данную сторону и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, плоскость которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объём параллелепипеда.

Решение.

На рисунке к задаче 50 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $AD = 4$ см, $\angle CAD = 30^\circ$. Из прямоугольного треугольника $ADC$ находим: $DC = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ (см).

Плоскость сечения, проходящего через рёбра $AD$ и $B_1C_1$, составляет с плоскостью основания $ABCD$ угол в $60^\circ$, поэтому $\angle C_1DC = \underline{\hspace{2em}}$ (как $\underline{\hspace{2em}}$ двугранного угла $\underline{\hspace{2em}}$).

Из $\underline{\hspace{2em}}$ треугольника $CC_1D$ находим: $CC_1 = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$.

Итак, $V = AD \cdot \underline{\hspace{2em}} \cdot \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ ($\text{см}^3$).

Ответ.

$\underline{\hspace{2em}}$ $\text{см}^3$.

Решение.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По условию, сторона основания $AD = 4$ см. Диагональ основания $AC$ образует с этой стороной угол $\angle CAD = 30^\circ$. Так как основание $ABCD$ является прямоугольником, треугольник $ADC$ — прямоугольный ($\angle D = 90^\circ$).

Из прямоугольного треугольника $ADC$ находим длину второй стороны основания $DC$:$DC = AD \cdot \text{tg}(\angle CAD) = 4 \cdot \text{tg}(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Сечение проведено через сторону $AD$ и противолежащую ей сторону $B_1C_1$ другого основания. Плоскость этого сечения ($ADC_1B_1$) составляет с плоскостью основания ($ABCD$) угол $60^\circ$.Линией пересечения этих плоскостей является ребро $AD$. Угол между плоскостями измеряется линейным углом соответствующего двугранного угла. Поскольку параллелепипед прямоугольный, ребро $DC \perp AD$ (в плоскости основания). Прямая $AD$ перпендикулярна всей грани $DCC_1D_1$ (так как $AD \perp DC$ и $AD \perp DD_1$), а значит, $AD$ перпендикулярна и прямой $DC_1$, лежащей в этой грани.Таким образом, угол $\angle C_1DC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle C_1DC = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CC_1D$ (угол $\angle C = 90^\circ$, так как $CC_1$ перпендикулярно основанию). В этом треугольнике мы можем найти высоту параллелепипеда $CC_1$:$CC_1 = DC \cdot \text{tg}(\angle C_1DC) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \text{tg}(60^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$ см.

Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($AD$, $DC$ и $CC_1$), находим его объём:$V = AD \cdot DC \cdot CC_1 = 4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 4 = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.