Страница 40 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

53 В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ через сторону $AB$ нижнего основания и середину ребра $CC_1$ проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в $30^\circ$. Найдите объём призмы, если её боковое ребро равно $2b$.

Решение.

На рисунке изображена правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $D$ — середина ребра $CC_1$, и $\triangle ADB$ — проведённое сечение. Поскольку призма правильная, то $CC_1 \perp$ ________ и объём $V$ призмы равен $S_{ABC} \cdot$ ________. Так как $AD = BD$ (как гипотенузы равных $ADC$ и ________), то треугольник $ADB$ ________.

Пусть точка $E$ — середина $AB$. Тогда $DE \perp$ ________ и $CE \perp$ ________, и, следовательно, $\angle DEC$ — ________ двугранного ________.

________. По условию $\angle DEC = $ ________, поэтому из треугольника $DCE$, в котором $DC = $ ________, находим: $EC = b$: ________.

В ________ треугольнике $ACE$ $\angle ACE = $ ________, поэтому $AE = EC \cdot$ ________ $=$ ________, и, следовательно, $AB = 2 \cdot$ ________ $=$ ________.

$S_{ABC} = $ ________.

Итак, $V = $ ________ $\cdot CC_1 = $ ________ $\cdot$ ________ $=$ ________.

Ответ. ________

На рисунке изображена правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $D$ — середина ребра $CC_1$, и $\triangle ADB$ — проведённое сечение. Поскольку призма правильная, то $CC_1 \perp$ плоскости $ABC$ и объём $V$ призмы равен $S_{ABC} \cdot CC_1$. Так как $AD = BD$ (как гипотенузы равных прямоугольных треугольников $ADC$ и $BDC$), то треугольник $ADB$ равнобедренный.

Пусть точка $E$ — середина $AB$. Тогда $DE \perp AB$ и $CE \perp AB$, и, следовательно, $\angle DEC$ — линейный угол двугранного угла. По условию $\angle DEC = 30^\circ$, поэтому из прямоугольного треугольника $DCE$, в котором $DC = b$ (поскольку $CC_1=2b$ и $D$ – середина $CC_1$), находим: $EC = \frac{DC}{\tan(\angle DEC)} = \frac{b}{\tan 30^\circ} = \frac{b}{1/\sqrt{3}} = b\sqrt{3}$.

В основании призмы лежит правильный треугольник $ABC$, поэтому высота (и медиана) $CE$ также является биссектрисой угла $\angle ACB$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $ACE$ ($\angle AEC=90^\circ$) угол $\angle ACE = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Находим сторону основания: $AE = EC \cdot \tan(\angle ACE) = b\sqrt{3} \cdot \tan 30^\circ = b\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = b$. Тогда сторона основания $AB = 2AE = 2b$. Площадь основания $S_{ABC}$ равна $\frac{AB^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2b)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4b^2\sqrt{3}}{4} = b^2\sqrt{3}$.

Итак, находим объём призмы: $V = S_{ABC} \cdot CC_1 = b^2\sqrt{3} \cdot 2b = 2b^3\sqrt{3}$.

Ответ: $2b^3\sqrt{3}$.