Страница 42 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

55 Найдите объём наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$, если известно, что её основания — правильные треугольники, боковая грань $BB_1C_1C$ является ромбом и образует с плоскостью $ABC$ угол в 90°, причём $B_1C = 12$ см, $BC_1 = 16$ см.

Решение.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — данная призма.

Так как $V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot$ __________, то требуется найти

________________________________________________

1) Четырёхугольник $BB_1C_1C$

ромб с диагоналями $B_1C = 12$ см и $BC_1 = 16$ см. Поскольку $\triangle BOC$ — __________ и его катеты $BO = \frac{1}{2}$ __________, $CO = \frac{1}{2}$ __________.

$CO = $ __________ $=$ __________, то сторона ромба $BC = $ __________.

$S_{ABC} = $ __________ $=$ __________ (см$^2$).

2) По условию плоскости $BB_1C_1$ и $ABC$

__________ поэтому высота $B_1D$ ромба $BB_1C_1C$ является и __________.

Таким образом, надо найти высоту $B_1D$ ромба. В треугольнике $BB_1C$ имеем: $BO \cdot B_1C = BC \cdot$ __________ , откуда $B_1D = $ __________ $=$ __________ (см).

Итак, $V_{\text{призмы}} = $ __________ $=$ __________ (см$^3$).

Ответ. __________

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы. Для нахождения объема нам необходимо последовательно вычислить площадь основания и высоту.

1) Сначала найдем площадь основания призмы. По условию, основание $ABC$ — это правильный (равносторонний) треугольник. Длину его стороны $BC$ можно найти, рассмотрев боковую грань $BB_1C_1C$, которая является ромбом. Нам известны длины диагоналей этого ромба: $B_1C = 12$ см и $BC_1 = 16$ см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, треугольник $\triangle BOC$ является прямоугольным. Его катеты равны половинам диагоналей:

$BO = \frac{1}{2}BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

$CO = \frac{1}{2}B_1C = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Сторона ромба $BC$ является гипотенузой в треугольнике $\triangle BOC$. По теореме Пифагора:

$BC = \sqrt{BO^2 + CO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Так как $BC$ является стороной основания, мы можем вычислить его площадь. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

2) Теперь найдем высоту призмы $H$. По условию, плоскость боковой грани $(BB_1C_1C)$ образует с плоскостью основания $(ABC)$ угол $90^\circ$, то есть эти плоскости взаимно перпендикулярны. Линия их пересечения — прямая $BC$.

Высота призмы $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки верхнего основания (например, $B_1$) на плоскость нижнего основания $(ABC)$. Поскольку плоскости $(BB_1C_1C)$ и $(ABC)$ перпендикулярны, этот перпендикуляр будет лежать в плоскости $(BB_1C_1C)$ и будет перпендикулярен их линии пересечения $BC$. Таким перпендикуляром является высота ромба $B_1D$, проведенная из вершины $B_1$ к стороне $BC$. Следовательно, высота призмы $H$ равна высоте ромба $B_1D$.

Площадь ромба можно вычислить двумя способами: как половину произведения диагоналей и как произведение стороны на высоту.

$S_{BB_1C_1C} = \frac{1}{2} \cdot B_1C \cdot BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см².

$S_{BB_1C_1C} = BC \cdot B_1D = 10 \cdot B_1D$.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$10 \cdot B_1D = 96$

$B_1D = \frac{96}{10} = 9.6$ см.

Таким образом, высота призмы $H = 9.6$ см.

Итак, зная площадь основания и высоту, можем найти объем призмы:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot H = 25\sqrt{3} \cdot 9.6 = 240\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $V_{призмы} = 240\sqrt{3}$ см³.

56 Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является правильный треугольник со стороной $AB = 6$ см, $\angle A_1AB = \angle A_1AC = 60^\circ$, $AA_1 = 8$ см. Найдите объём призмы.

Решение.

На рисунке изображена данная наклонная призма $ABCA_1B_1C_1$. Её объём вычисляется по формуле $V = S \cdot H$,

где $S$ — площадь треугольника __________,

$H$ — __________ . Так как по условию

$\triangle ABC$ — правильный, то его площадь

$S = $ __________ $=$ __________ $=$ __________ (см$^2$). Остаётся найти __________

Пусть $A_1O \perp ABC$, $OP \perp AB$, $OF \perp AC$,

тогда по теореме __________

$A_1P \perp$ __________ и $A_1F \perp$ __________

$\triangle APA_1 = $ __________ по гипотенузе ($AA_1$ — __________ гипотенуза)

и острому углу ($\angle A_1AP = $ __________ $=$ __________ по условию), поэтому

$OP = $ __________ , и, следовательно, луч $AO$ — __________

__________ , а значит, $\angle OAP = $ __________

Из __________ треугольников $A_1AP, APO$ и $A_1AO$

находим последовательно: $AP = AA_1 \cdot$ __________

$=$ __________ см, $AO = AP \cdot$ __________

$=$ __________ $=$ __________ см

и $A_1O = \sqrt{\text{__________}}$

$=$ __________ $=$ __________ см.

Итак, $V = $ __________ $=$ __________ (см$^3$).

Ответ. __________ см$^3$.

Решение.

Объём наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S \cdot H$, где $S$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = AB = 6$ см. Его площадь равна:$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Для нахождения объёма осталось найти высоту призмы $H$. Проведём высоту $A_1O$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$. Таким образом, $H = A_1O$ и $A_1O \perp (ABC)$.

Поскольку по условию двугранные углы при ребрах основания $AB$ и $AC$ равны ($\angle A_1AB = \angle A_1AC = 60°$), то вершина $A_1$ проектируется на биссектрису угла $\angle BAC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, то $\angle BAC = 60°$, а его биссектриса $AD$ (где $D$ - середина $BC$) также является его высотой и медианой. Точка $O$ лежит на отрезке $AD$.

Проведём перпендикуляр $AP$ из точки $A$ на ребро $A_1B_1$ в плоскости грани $AA_1B_1B$. Но это неверный подход.Проведём из точки $A_1$ перпендикуляр $A_1P$ на прямую $AB$. Тогда $\angle A_1AP$ - это линейный угол двугранного угла при ребре $AB$. По условию, $\angle A_1AB = 60°$, и это угол между наклонной $A_1A$ и прямой $AB$. Угол $\angle A_1PA$ не равен 60°.

Вернемся к правильной интерпретации. Пусть $A_1O \perp (ABC)$. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OP$ на сторону $AB$. По теореме о трёх перпендикулярах, $A_1P \perp AB$. Тогда $\angle A_1PO$ - это линейный угол двугранного угла между боковой гранью $AA_1B_1B$ и основанием $ABC$. А угол $\angle A_1AP$ является углом между боковым ребром $AA_1$ и стороной основания $AB$. По условию $\angle A_1AB = 60°$.

Так как $\angle A_1AB = \angle A_1AC = 60°$, и $AB=AC$, то проекция точки $A_1$ на плоскость основания, точка $O$, будет лежать на биссектрисе угла $\angle BAC$.Рассмотрим треугольники $\triangle A_1AP$ и $\triangle A_1AF$, где $A_1P \perp AB$ и $A_1F \perp AC$. Эти треугольники не обязательно равны.

Рассмотрим треугольники, образованные ребром $A_1A$ и сторонами основания $AB$ и $AC$. В $\triangle A_1AB$ и $\triangle A_1AC$ сторона $A_1A$ общая, $AB=AC=6$ см, $A_1A=8$ см, $\angle A_1AB = \angle A_1AC = 60°$.

Проекция $A_1O$ является высотой призмы. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle BAC$. Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, $\angle BAC=60°$, и его биссектриса из вершины $A$ является также медианой и высотой. $\angle OAB = 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $A_1A$, его проекцией $AO$ на плоскость основания и высотой $A_1O$. В этом треугольнике $\triangle A_1OA$ гипотенуза $A_1A = 8$ см. Нам нужно найти длину катета $AO$.

Спроектируем ребро $A_1A$ на прямые $AB$ и $AC$. Пусть $A_1P \perp AB$ и $A_1F \perp AC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1PA$ с гипотенузой $A_1A=8$ и углом $\angle A_1AP=60°$, катет $AP = AA_1 \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Точка $P$ лежит на прямой $AB$. В плоскости основания $ABC$ имеем точку $A$, прямую $AB$, точку $O$ на биссектрисе угла $\angle BAC$. Из точки $O$ опустим перпендикуляр $OP'$ на $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AP'O$, $\angle OAP' = 30°$. $AP' = AO \cos(30°)$. Точки $P$ и $P'$ должны совпадать. То есть $P$ - это проекция точки $O$ на $AB$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle APO$ (где $\angle APO = 90°$), мы имеем $AP=4$ см и $\angle OAP = 30°$. Тогда гипотенуза $AO$ равна:$AO = \frac{AP}{\cos(30°)} = \frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная $AO$ и $A_1A$, из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OA$ находим высоту $H=A_1O$:$H^2 = A_1A^2 - AO^2 = 8^2 - (\frac{8\sqrt{3}}{3})^2 = 64 - \frac{64 \cdot 3}{9} = 64 - \frac{64}{3} = \frac{192-64}{3} = \frac{128}{3}$$H = \sqrt{\frac{128}{3}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см.

Наконец, вычисляем объём призмы:$V = S \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} = 3\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{6} = 24\sqrt{18} = 24\sqrt{9 \cdot 2} = 24 \cdot 3\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $72\sqrt{2}$ см³.