Номер 55, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5.3. Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса - номер 55, страница 42.

55 Найдите объём наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$, если известно, что её основания — правильные треугольники, боковая грань $BB_1C_1C$ является ромбом и образует с плоскостью $ABC$ угол в 90°, причём $B_1C = 12$ см, $BC_1 = 16$ см.

Решение.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — данная призма.

Так как $V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot$ __________, то требуется найти

________________________________________________

1) Четырёхугольник $BB_1C_1C$

ромб с диагоналями $B_1C = 12$ см и $BC_1 = 16$ см. Поскольку $\triangle BOC$ — __________ и его катеты $BO = \frac{1}{2}$ __________, $CO = \frac{1}{2}$ __________.

$CO = $ __________ $=$ __________, то сторона ромба $BC = $ __________.

$S_{ABC} = $ __________ $=$ __________ (см$^2$).

2) По условию плоскости $BB_1C_1$ и $ABC$

__________ поэтому высота $B_1D$ ромба $BB_1C_1C$ является и __________.

Таким образом, надо найти высоту $B_1D$ ромба. В треугольнике $BB_1C$ имеем: $BO \cdot B_1C = BC \cdot$ __________ , откуда $B_1D = $ __________ $=$ __________ (см).

Итак, $V_{\text{призмы}} = $ __________ $=$ __________ (см$^3$).

Ответ. __________

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V_{призмы} = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы. Для нахождения объема нам необходимо последовательно вычислить площадь основания и высоту.

1) Сначала найдем площадь основания призмы. По условию, основание $ABC$ — это правильный (равносторонний) треугольник. Длину его стороны $BC$ можно найти, рассмотрев боковую грань $BB_1C_1C$, которая является ромбом. Нам известны длины диагоналей этого ромба: $B_1C = 12$ см и $BC_1 = 16$ см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, треугольник $\triangle BOC$ является прямоугольным. Его катеты равны половинам диагоналей:

$BO = \frac{1}{2}BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

$CO = \frac{1}{2}B_1C = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Сторона ромба $BC$ является гипотенузой в треугольнике $\triangle BOC$. По теореме Пифагора:

$BC = \sqrt{BO^2 + CO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Так как $BC$ является стороной основания, мы можем вычислить его площадь. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$ см².

2) Теперь найдем высоту призмы $H$. По условию, плоскость боковой грани $(BB_1C_1C)$ образует с плоскостью основания $(ABC)$ угол $90^\circ$, то есть эти плоскости взаимно перпендикулярны. Линия их пересечения — прямая $BC$.

Высота призмы $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки верхнего основания (например, $B_1$) на плоскость нижнего основания $(ABC)$. Поскольку плоскости $(BB_1C_1C)$ и $(ABC)$ перпендикулярны, этот перпендикуляр будет лежать в плоскости $(BB_1C_1C)$ и будет перпендикулярен их линии пересечения $BC$. Таким перпендикуляром является высота ромба $B_1D$, проведенная из вершины $B_1$ к стороне $BC$. Следовательно, высота призмы $H$ равна высоте ромба $B_1D$.

Площадь ромба можно вычислить двумя способами: как половину произведения диагоналей и как произведение стороны на высоту.

$S_{BB_1C_1C} = \frac{1}{2} \cdot B_1C \cdot BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см².

$S_{BB_1C_1C} = BC \cdot B_1D = 10 \cdot B_1D$.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$10 \cdot B_1D = 96$

$B_1D = \frac{96}{10} = 9.6$ см.

Таким образом, высота призмы $H = 9.6$ см.

Итак, зная площадь основания и высоту, можем найти объем призмы:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot H = 25\sqrt{3} \cdot 9.6 = 240\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $V_{призмы} = 240\sqrt{3}$ см³.