Номер 49, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5.1. Объём прямоугольного параллелепипеда - номер 49, страница 37.

49 Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его диагональ равна $4\sqrt{2}$ см и составляет с плоскостью основания угол в $30^\circ$, а с плоскостью боковой грани угол в $45^\circ$.

Решение.

На рисунке изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Так как прямая $B_1D$ — проекция прямой _____ на _____, то $\angle B_1DB = \underline{\hspace{3cm}}$.

Из _____ треугольника $B_1DB$ находим: $BB_1 = \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$ (см), $BD = 4\sqrt{2} \cdot \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$ (см).

2) Так как прямая $C_1D$ — проекция _____ на плоскость $D_1CC_1$, то $\angle B_1DC_1 = \underline{\hspace{3cm}}$.

Из _____ треугольника $B_1DC_1$ находим: $B_1C_1 = \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$ (см).

3) $\triangle BAD$ _____ , $BD = \underline{\hspace{3cm}}$ , $AD = \underline{\hspace{3cm}}$ = $\underline{\hspace{3cm}}$ см, поэтому $AB = \underline{\hspace{3cm}}$ = $\underline{\hspace{3cm}}$ (см).

Итак, $V = AB \cdot \underline{\hspace{3cm}} \cdot \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$.

Ответ. $\underline{\hspace{8cm}}$

1) Так как прямая $BD$ — проекция прямой $B_1D$ на плоскость основания $(ABC)$, то $\angle B_1DB = 30°$. Из прямоугольного треугольника $B_1DB$ находим: $BB_1 = 4\sqrt{2} \sin 30° = 2\sqrt{2}$ (см), $BD = 4\sqrt{2} \cdot \cos 30° = 2\sqrt{6}$ (см).

2) Так как прямая $C_1D$ — проекция прямой $B_1D$ на плоскость $D_1CC_1$, то $\angle B_1DC_1 = 45°$. Из прямоугольного треугольника $B_1DC_1$ находим: $B_1C_1 = B_1D \sin 45° = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$ (см).

3) $\triangle BAD$ прямоугольный, $BD = 2\sqrt{6}$ см, поэтому $AB = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 4^2} = \sqrt{24 - 16} = 2\sqrt{2}$ см, $AD = 4$ (см).

Итак, $V = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 2\sqrt{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} = 32$ (см³).

Ответ: $32$ см³.