Номер 44, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 44, страница 33.

44 Докажите, что центр сферы, описанной около:

а) правильной призмы, лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований призмы;

б) правильной пирамиды, лежит на высоте пирамиды или её продолже-нии. (Задача 430 учебника.)

Доказательство.

Центр сферы, описанной около многогранника, является точкой, рав-ноудалённой от всех ___________________

а) Пусть $A_1A_2A_3...A_nB_1B_2...B_n$ — правильная призма, точки $O_1$ и $O_2$ — центры её оснований. Множест-вом всех точек пространства, равноудалённых от вершин основания$A_1A_2...A_n$, является ___________________, проходящая через ____________и перпендикулярная ___________________ этого основания, т. е. пря-мая ___________________. Эта же прямая является множеством всех точек прост-ранства, равноудалённых от ___________________.Следовательно, центр сферы, описанной около правильной призмы,лежит на ___________________

Множеством всех точек пространства, равноудалённых от точек $A_1$и $B_1$, является ___________________, проходящая через ___________________и перпендикулярная ___________________. Эта плоскостьпересекается с отрезком $O_1O_2$ в его ______________. Таким образом,центром сферы, описанной около ___________________является ___________________.

б) Множеством всех точек пространства, равноудалённых от вершиноснования правильной пирамиды, является ___________________, проходящаячерез ___________________ и ___________________. Эта прямая содержит ___________________пирамиды, поэтому центр описанной ___________________сферы лежит ___________________ или ___________________

Центр сферы, описанной около многогранника, является точкой, равноудалённой от всех его вершин.

a)

Пусть дана правильная призма $A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$, где $O_1$ и $O_2$ — центры её оснований. Центр описанной сферы должен быть равноудалён от всех вершин призмы.

Множество точек пространства, равноудалённых от всех вершин нижнего основания ($A_1, A_2, ..., A_n$), представляет собой прямую, проходящую через центр этого основания $O_1$ и перпендикулярную его плоскости. Поскольку призма является правильной (и, следовательно, прямой), а её основания — равные правильные многоугольники, этой прямой является ось призмы, то есть прямая $O_1O_2$.

Аналогично, множество точек, равноудалённых от всех вершин верхнего основания ($B_1, B_2, ..., B_n$), — это та же самая прямая $O_1O_2$. Следовательно, центр описанной сферы должен лежать на прямой $O_1O_2$.

Кроме того, центр сферы должен быть равноудалён от любых двух соответствующих вершин оснований, например, от $A_1$ и $B_1$. Множество всех точек пространства, равноудалённых от $A_1$ и $B_1$, — это плоскость, которая перпендикулярна отрезку $A_1B_1$ и проходит через его середину.

Так как призма правильная, её боковое ребро $A_1B_1$ параллельно оси $O_1O_2$. Поэтому указанная плоскость перпендикулярна оси $O_1O_2$ и пересекает её в середине. Эта точка пересечения и есть центр описанной сферы, так как она единственная точка, удовлетворяющая всем условиям (равноудалена от всех вершин).

Таким образом, центр сферы, описанной около правильной призмы, является серединой отрезка $O_1O_2$, соединяющего центры её оснований.

Ответ: Доказано, что центр сферы, описанной около правильной призмы, лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований призмы.

б)

Рассмотрим правильную пирамиду. Центр описанной около неё сферы должен быть равноудалён от всех её вершин, включая вершину пирамиды и все вершины её основания.

Множество точек пространства, равноудалённых от всех вершин основания правильной пирамиды (которое является правильным многоугольником), — это прямая, проходящая через центр основания и перпендикулярная его плоскости.

По определению правильной пирамиды, её высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, причём основание высоты совпадает с центром основания. Следовательно, прямая, содержащая точки, равноудалённые от вершин основания, совпадает с прямой, содержащей высоту пирамиды.

Поскольку центр описанной сферы должен быть равноудалён от всех вершин основания, он обязан лежать на этой прямой. Таким образом, центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на прямой, содержащей её высоту, то есть на самой высоте или на её продолжении.

Ответ: Доказано, что центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на высоте пирамиды или её продолжении.