Номер 39, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 39, страница 29.

39 Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.

Доказательство.

Пусть $ABCD$ и $ABEF$ — данные прямоугольники с общей стороной ___.

Множеством всех точек простран-

ства, равноудалённых от вершин прямоугольника $ABCD$, является прямая $l_1$, перпендикулярная к ___ и проходящая через точку $O_1$ пересечения ___.

Аналогично множество всех точек

пространства, равноудалённых от вершин прямоугольника $ABEF$, есть прямая $l_2$, перпендикулярная к ___ и проходящая через точку $O_2$ ___.

Докажем, что прямые $l_1$ и $l_2$

пересекаются. Для этого рассмотрим плоскость $O_1PO_2$, где точка $P$ — середина ___ . В плоскости $O_1PO_2$ через точки $O_1$ и $O_2$ проведём прямые, перпендикулярные соответственно $PO_1$ и ___ . Они пересекаются в некоторой точке $O$. $AB \perp O_1PO_2$, так как $AB \perp$ ___ и ___ . Следовательно, прямая $AB$ ___ прямым $O_1O$ и ___ , лежащим в плоскости $O_1PO_2$. Так как $O_1O \perp PO_1$ и $O_1O \perp$ ___ , то $O_1O \perp ABC$ (по признаку ___ ).

Аналогично доказывается, что $O_2O \perp$

___ . Отсюда следует, что прямые $l_1$ и $O_1O$ ___ и также совпадают прямые $l_1$ и $l_2$ ___ , а это означает, что прямые $l_1$ и $l_2$ ___ в точке ___ .

Итак, $OD = $ ___ $=$ ___ $=$ ___ $=$ $OE$, т. е. точка $O$ —

центр сферы, проходящей через точки $A$, ___ , ___ , ___ , и ___ .

Доказательство.

Пусть $ABCD$ и $ABEF$ — данные прямоугольники с общей стороной $AB$.

Множеством всех точек пространства, равноудалённых от вершин прямоугольника $ABCD$, является прямая $l_1$, перпендикулярная к плоскости $ABC$ и проходящая через точку $O_1$ пересечения диагоналей.

Аналогично множество всех точек пространства, равноудалённых от вершин прямоугольника $ABEF$, есть прямая $l_2$, перпендикулярная к плоскости $ABE$ и проходящая через точку $O_2$ пересечения диагоналей.

Докажем, что прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются. Для этого рассмотрим плоскость $O_1PO_2$, где точка $P$ — середина $AB$. В плоскости $O_1PO_2$ через точки $O_1$ и $O_2$ проведём прямые, перпендикулярные соответственно $PO_1$ и $PO_2$. Они пересекаются в некоторой точке $O$.

$AB \perp O_1PO_2$, так как $AB \perp$ $PO_1$ и $AB \perp$ $PO_2$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна прямым $O_1O$ и $O_2O$, лежащим в плоскости $O_1PO_2$. Так как $O_1O \perp PO_1$ и $O_1O \perp$ $AB$, то $O_1O \perp ABC$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Аналогично доказывается, что $O_2O \perp$ плоскости $ABE$. Отсюда следует, что прямые $l_1$ и $O_1O$ совпадают, и также совпадают прямые $l_2$ и $O_2O$, а это означает, что прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $O$.

Итак, $OD = $ $OC$ = $OB$ = $OA$ $= OE$, т. е. точка $O$ — центр сферы, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, и $F$.

Ответ: Доказательство завершено путем заполнения пропусков. Логика доказательства заключается в следующем:

1. Для каждого прямоугольника определяется геометрическое место точек, равноудаленных от его вершин. Это прямая, перпендикулярная плоскости прямоугольника и проходящая через его центр (точка пересечения диагоналей). Обозначим эти прямые $l_1$ и $l_2$.
2. Доказывается, что эти две прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в некоторой точке $O$. Для этого строится вспомогательная плоскость $O_1PO_2$, где $P$ — середина общей стороны $AB$. Обе прямые $l_1$ и $l_2$ лежат в этой плоскости и непараллельны, а значит, пересекаются.
3. Точка пересечения $O$ принадлежит обеим прямым $l_1$ и $l_2$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех вершин первого прямоугольника ($OA=OB=OC=OD$) и от всех вершин второго прямоугольника ($OA=OB=OE=OF$).
4. Из этого следует, что точка $O$ равноудалена от всех шести вершин обоих прямоугольников ($OA=OB=OC=OD=OE=OF$), а значит, все они лежат на одной сфере с центром в точке $O$.