Номер 35, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 35, страница 26.

35 Сфера касается граней двугранно-го угла 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно $a$. (Задача 386 учебника.)

Решение.

Пусть полуплоскости $\alpha$ и $\beta$ — грани данного двугранного угла, прямая $m$ — ребро этого угла, а точка $O$ — центр сферы, касающей-ся граней двугранного угла в точках $A$ и $B$. Тогда $OA \perp \alpha$, $OB \perp \beta$ (так как радиус, ___).

Проведём через пересекающиеся прямые $OA$ и $OB$ плоскость $\gamma$. Она пересечёт ребро $m$ в некоторой точке $C$.

1) $m \perp OA$, так как $OA$ ___, аналогично $m$ ___, поэто-му $m \perp \gamma$ (по признаку ___). Отсюда следует, что угол $ACB$ линейный ___, т. е. $\angle ACB = ___$, а $OC = ___$.

2) Точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$, так как ___ = ___ = $R$, где $R$ — радиус сферы, следовательно, она лежит на его ___, т. е. $\angle OCB = ___$. Из ___ треугольника $OCB$ находим: $OB = R = ___$, $BC = ___$. Аналогично получаем $AC = ___$.

3) Из равнобедренного треугольника $ACB$, в котором $AC = ___ = ___$, $\angle ACB = ___$, находим: $AB = 2 \cdot AC \cdot \sin ___ = ___$.

Ответ.

Ответ. ___, ___

Пусть полуплоскости $\alpha$ и $\beta$ — грани данного двугранного угла, прямая $m$ — ребро этого угла, а точка $O$ — центр сферы, касающейся граней двугранного угла в точках $A$ и $B$. Тогда $OA \perp \alpha$, $OB \perp \beta$ (так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости).

Проведём через точку $O$ плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $m$. Она пересечёт ребро $m$ в некоторой точке $C$.

1) Так как по построению плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $m$, то любая прямая в этой плоскости перпендикулярна $m$. Точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости $\gamma$. Поэтому $AC \perp m$ и $BC \perp m$. Отсюда следует, что угол $ACB$ линейный двугранного угла, т. е. $\angle ACB = $ $120^\circ$. Расстояние от центра сферы $O$ до ребра $m$ — это длина перпендикуляра $OC$, т.е. $OC =$ $a$.

2) Точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$, так как $OA = OB$ = $R$, где $R$ — радиус сферы (поскольку $OA$ и $OB$ являются расстояниями от точки $O$ до граней $\alpha$ и $\beta$ соответственно, и $OA \perp AC$, $OB \perp BC$). Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе его угла, т. е. $\angle OCB = $ $\frac{1}{2} \angle ACB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $OCB$ (угол $\angle OBC = 90^\circ$) находим: $OB = R = $ $OC \cdot \sin(\angle OCB) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, $BC = $ $OC \cdot \cos(\angle OCB) = a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a}{2}$. Аналогично получаем $AC = $ $\frac{a}{2}$.

3) Из равнобедренного треугольника $ACB$, в котором $AC = $ $BC$ = $\frac{a}{2}$, $\angle ACB = $ $120^\circ$, находим расстояние между точками касания $AB$. По теореме косинусов:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.$AB = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Или, используя формулу из текста:$AB = 2 \cdot AC \cdot \sin$ $\left(\frac{\angle ACB}{2}\right)$ $= $ $2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: радиус сферы $R = a\frac{\sqrt{3}}{2}$, расстояние между точками касания $AB = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.