Номер 31, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 31, страница 23.

31 Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса $R$ так, что угол между диаметром и плоскостью равен $\alpha$. Найдите длину окружности, получившейся в сечении. (Задача 384 учебника.)

Решение.

Пусть секущая плоскость $\beta$ проходит через конец $A$ диаметра $AB$ сферы с центром $O$ и радиусом $R$, а окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1A$ является сечением сферы плоскостью $\beta$.

Тогда $OO_1 \perp$ __________ и $\angle$ __________ = $\alpha$, так как это угол между прямой $AB$ __________ и __________ на плоскость $\beta$. Из треугольника $OAO_1$ находим радиус окружности сечения: $AO_1 = $ __________. Длина этой окружности равна __________

Ответ.

Решение.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Диаметр сферы обозначим как $AB$. Секущая плоскость $\beta$ проходит через конец диаметра, точку $A$.

Сечением сферы плоскостью является окружность. Обозначим центр этой окружности как $O_1$, а её радиус как $r$. Поскольку точка $A$ принадлежит как сфере, так и плоскости $\beta$, она лежит на линии их пересечения, то есть на этой окружности. Таким образом, $AO_1$ является радиусом окружности сечения, $r = AO_1$.

По свойству сечения сферы, радиус сферы, проведенный в точку касания, и радиус сечения, перпендикулярны линии пересечения. Более того, отрезок, соединяющий центр сферы ($O$) с центром окружности сечения ($O_1$), перпендикулярен плоскости сечения ($\beta$). Таким образом, $OO_1 \perp \beta$.

Поскольку отрезок $AO_1$ лежит в плоскости $\beta$, из условия $OO_1 \perp \beta$ следует, что $OO_1 \perp AO_1$. Следовательно, треугольник $\triangle OAO_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

Угол между прямой (диаметром $AB$) и плоскостью ($\beta$) по определению равен углу между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией точки $O$ на плоскость $\beta$ является точка $O_1$. Точка $A$ уже лежит в плоскости $\beta$, поэтому она проецируется сама в себя. Значит, проекцией радиуса $OA$ (который лежит на прямой $AB$) на плоскость $\beta$ является отрезок $O_1A$. Таким образом, угол между диаметром $AB$ и плоскостью $\beta$ равен углу $\angle OAO_1$. По условию, этот угол равен $\alpha$, то есть $\angle OAO_1 = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAO_1$. В нём:
- гипотенуза $OA$ является радиусом сферы, $OA = R$;
- катет $AO_1$ является радиусом окружности сечения, $AO_1 = r$;
- угол $\angle OAO_1 = \alpha$.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике, находим радиус $r$:$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AO_1}{OA} = \frac{r}{R} $

Отсюда $r = R \cos(\alpha)$.

Длина окружности ($L$) вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Подставляя найденное значение радиуса $r$, получаем:$ L = 2\pi R \cos(\alpha) $

Ответ: $2\pi R \cos(\alpha)$.