Номер 36, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 36, страница 26.

36 Радиусы двух параллельных сечений сферы, расположенных по разные стороны от её центра, равны 3 см и 4 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 7 см. Найдите площадь сферы.

Решение.

Рассмотрим сечение сферы радиу-са R плоскостью, проходящей через её центр O и перпендикулярной секу-щим плоскостям. В сечении получим окружность с центром O и радиусом R (окружность большого ), хорды AB и CD которой — диамет-ры , причём $AB \parallel \underline{\hspace{2em}}$. Пусть $OO_1 \perp AB$, $OO_2 \perp CD$, тогда $OA = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$.

$O_1A = 4$ см, $O_2C = 3$ см, $O_1O_2 = 7$ см.

Пусть $OO_1 = x$ (см), тогда $OO_2 = \underline{\hspace{2em}}$ (см). Из треугольников $AO_1O$ и $CO_2O$ получаем $R^2 = \underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}$, откуда $x^2 + 16 = \underline{\hspace{2em}}$ и $x = \underline{\hspace{2em}}$

Итак, $OO_1 = \underline{\hspace{2em}}$ см, поэтому $R = \underline{\hspace{2em}}$ см, $S_{сферы} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$ (см$^2$).

Ответ. $\underline{\hspace{2em}}$ см$^2$.

Решение.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение сферы, которое проходит через её центр $O$ и перпендикулярно плоскостям двух параллельных сечений. В этом осевом сечении сфера будет выглядеть как большой круг радиуса $R$, а сечения — как две параллельные хорды.

Пусть радиусы сечений равны $r_1 = 3$ см и $r_2 = 4$ см. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры этих сечений. Тогда в нашем осевом сечении мы имеем два прямоугольных треугольника, образованных радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом сечения $r$ (один катет) и расстоянием $h$ от центра сферы до плоскости сечения (второй катет).

По условию, сечения расположены по разные стороны от центра сферы. Расстояние между секущими плоскостями равно 7 см. Это расстояние равно сумме расстояний от центра сферы до каждой из плоскостей: $h_1 + h_2 = 7$ см.

Пусть $h_1$ — расстояние до сечения с радиусом $r_1 = 3$ см, а $h_2$ — расстояние до сечения с радиусом $r_2 = 4$ см. Обозначим $h_2 = x$, тогда $h_1 = 7 - x$.

По теореме Пифагора для каждого из прямоугольных треугольников можно записать:
1. $R^2 = h_1^2 + r_1^2 = (7-x)^2 + 3^2$
2. $R^2 = h_2^2 + r_2^2 = x^2 + 4^2$

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$:
$x^2 + 4^2 = (7-x)^2 + 3^2$
$x^2 + 16 = (49 - 14x + x^2) + 9$
$x^2 + 16 = 58 - 14x + x^2$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:
$16 = 58 - 14x$
$14x = 58 - 16$
$14x = 42$
$x = \frac{42}{14} = 3$ см.

Итак, расстояние до одного из сечений равно $h_2 = 3$ см. Теперь мы можем найти квадрат радиуса сферы $R^2$, используя второе уравнение:
$R^2 = x^2 + 16 = 3^2 + 16 = 9 + 16 = 25$

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4 \pi R^2$. Подставим найденное значение $R^2 = 25$:
$S_{сферы} = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi$ см$^2$.

Ответ: $100 \pi$ см$^2$.