Номер 40, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 40, страница 30.

40 Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны. (Задача 422 учебника.)

Доказательство.

На рисунке изображена призма $ABCA_1B_1C_1$, вписанная в цилиндр так, что её боковая грань $AA_1B_1B$ проходит через ось $OO_1$ цилиндра.

Требуется доказать, что боковые грани $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ взаимно перпендикулярны, т. е. двугранный угол с ребром $CC_1$, образованный плоскостями этих граней, — прямой.

Боковые рёбра вписанной призмы являются образующими цилиндра, поэтому они перпендикулярны _____, в частности $CC_1 \perp ABC$. Отсюда следует, что $CC_1 \perp CA$ и $CC_1 \perp _____$, а значит, угол $ACB$ линейный _____. Так как грань $AA_1B_1B$ проходит через точку $O$, то $AB$ — __________ основания цилиндра. Поэтому $\angle ACB = \_\_\_\_\_$, т. е. указанный двугранный угол с ребром $CC_1$ ______, что и требовалось доказать.

Доказательство.

На рисунке изображена призма $ABCA_1B_1C_1$, вписанная в цилиндр так, что её боковая грань $AA_1B_1B$ проходит через ось $OO_1$ цилиндра.

Требуется доказать, что боковые грани $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ взаимно перпендикулярны, т. е. двугранный угол с ребром $CC_1$, образованный плоскостями этих граней, — прямой.

Боковые рёбра вписанной призмы являются образующими цилиндра, поэтому они перпендикулярны основаниям. В частности, так как призма прямая, её боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Отсюда следует, что $CC_1$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть $CC_1 \perp CA$ и $CC_1 \perp CB$. По определению, угол $\angle ACB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями граней $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ с ребром $CC_1$.

Так как грань $AA_1B_1B$ проходит через ось цилиндра $OO_1$, то её основание, хорда $AB$, проходит через центр $O$ окружности основания цилиндра. Следовательно, $AB$ — диаметр основания цилиндра.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность основания, и его сторона $AB$ является диаметром этой окружности. Угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку величина двугранного угла измеряется величиной его линейного угла, двугранный угол с ребром $CC_1$ равен $90^\circ$. Это означает, что плоскости граней $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.