Страница 30 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

40 Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны. (Задача 422 учебника.)

Доказательство.

На рисунке изображена призма $ABCA_1B_1C_1$, вписанная в цилиндр так, что её боковая грань $AA_1B_1B$ проходит через ось $OO_1$ цилиндра.

Требуется доказать, что боковые грани $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ взаимно перпендикулярны, т. е. двугранный угол с ребром $CC_1$, образованный плоскостями этих граней, — прямой.

Боковые рёбра вписанной призмы являются образующими цилиндра, поэтому они перпендикулярны _____, в частности $CC_1 \perp ABC$. Отсюда следует, что $CC_1 \perp CA$ и $CC_1 \perp _____$, а значит, угол $ACB$ линейный _____. Так как грань $AA_1B_1B$ проходит через точку $O$, то $AB$ — __________ основания цилиндра. Поэтому $\angle ACB = \_\_\_\_\_$, т. е. указанный двугранный угол с ребром $CC_1$ ______, что и требовалось доказать.

Доказательство.

На рисунке изображена призма $ABCA_1B_1C_1$, вписанная в цилиндр так, что её боковая грань $AA_1B_1B$ проходит через ось $OO_1$ цилиндра.

Требуется доказать, что боковые грани $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ взаимно перпендикулярны, т. е. двугранный угол с ребром $CC_1$, образованный плоскостями этих граней, — прямой.

Боковые рёбра вписанной призмы являются образующими цилиндра, поэтому они перпендикулярны основаниям. В частности, так как призма прямая, её боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Отсюда следует, что $CC_1$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть $CC_1 \perp CA$ и $CC_1 \perp CB$. По определению, угол $\angle ACB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями граней $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ с ребром $CC_1$.

Так как грань $AA_1B_1B$ проходит через ось цилиндра $OO_1$, то её основание, хорда $AB$, проходит через центр $O$ окружности основания цилиндра. Следовательно, $AB$ — диаметр основания цилиндра.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность основания, и его сторона $AB$ является диаметром этой окружности. Угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку величина двугранного угла измеряется величиной его линейного угла, двугранный угол с ребром $CC_1$ равен $90^\circ$. Это означает, что плоскости граней $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$ взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

41 В конус с высотой 12 см вписана треугольная пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

Решение.

На рисунке изображена пирамида $MABC$, вписанная в конус с осью $MO$ так, что её вершина $M$ совпадает с вершиной конуса, а прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = 8$ см и $BC = 6$ см вписан в основание конуса.

Отрезок $MO$ — высота конуса, и по условию $MO = $_______$. Так как треугольник $ABC$ ___________________________________, то гипотенуза $AB$ является __________________________ основания конуса, $AB = $___________________________$ и точка $O$ — __________________________ отрезка $AB$.

Из _________________________________ треугольника $AMO$, в котором $MO = $_______$, $AO = $_______$, находим: $AM = \sqrt{\underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}} = \sqrt{12^2 + \underline{\hspace{2em}}} = 13$ (см).

Боковые рёбра пирамиды $MA$, _____________ и _____________ являются ________________ конуса, поэтому $MA = $_______$ = $_______$ = $_______$. Пусть $MH_1$ и $MH_2$ — высоты треугольников $AMC$ и __________________________ , тогда

$MH_1 = \sqrt{AM^2 - \underline{\hspace{5em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{5em}}} = $_____________ (см),

$MH_2 = \sqrt{MB^2 - \underline{\hspace{5em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{3em}} - 9} = $_____________ (см).

$S_{\text{полн. пир}} = S_{ABC} + \underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}} = \frac{1}{2}(AC \cdot \underline{\hspace{3em}} + AB \cdot \underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}}) = $

$= \frac{1}{2}(8 \cdot 6 + 10 \cdot 12 + \underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}}) = $____________________________________ (см$^2$),

$S_{\text{кон}} = \pi r (\underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}}) = \pi \cdot $_______$ (\underline{\hspace{3em}} + \underline{\hspace{3em}}) = $____________________________________ (см$^2$).

$\frac{S_{\text{пир}}}{S_{\text{кон}}} = $____________________________________$.

Ответ. ____________________________________

В основании конуса лежит прямоугольный треугольник ABC, вписанный в окружность. Это означает, что его гипотенуза AB является диаметром этой окружности. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус основания конуса R равен половине диаметра:
$R = AO = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Высота конуса по условию $H = MO = 12$ см. Образующая конуса L совпадает с боковыми рёбрами пирамиды MA, MB и MC. Найдем её длину из прямоугольного треугольника AMO:
$L = MA = \sqrt{MO^2 + AO^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.
Следовательно, $MA = MB = MC = 13$ см.

Для нахождения площади поверхности пирамиды вычислим площади её основания и боковых граней.

MH₁
Боковая грань AMC — равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13 и 8 см. Его высота (апофема) $MH_1$, проведённая к основанию AC, находится из прямоугольного треугольника AMH₁, где $AH_1 = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
$MH_1 = \sqrt{AM^2 - AH_1^2} = \sqrt{13^2 - 4^2} = \sqrt{169 - 16} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$ см.

MH₂
Боковая грань BMC — равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13 и 6 см. Его высота (апофема) $MH_2$, проведённая к основанию BC, находится из прямоугольного треугольника BMH₂, где $BH_2 = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
$MH_2 = \sqrt{MB^2 - BH_2^2} = \sqrt{13^2 - 3^2} = \sqrt{169 - 9} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$ см.

S_{полн. пир}
Площадь полной поверхности пирамиды — это сумма площади основания $S_{ABC}$ и площадей трёх боковых граней $S_{AMC}$, $S_{BMC}$ и $S_{AMB}$.
Площадь основания: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см².
Площадь грани AMC: $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MH_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{17} = 12\sqrt{17}$ см².
Площадь грани BMC: $S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{10} = 12\sqrt{10}$ см².
Площадь грани AMB: высота к основанию AB совпадает с высотой конуса MO = 12 см.
$S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².
Суммарная площадь:
$S_{полн. пир} = S_{ABC} + S_{AMC} + S_{BMC} + S_{AMB} = 24 + 12\sqrt{17} + 12\sqrt{10} + 60 = 84 + 12\sqrt{17} + 12\sqrt{10}$ см².

S_кон
Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{кон} = \pi R (R+L)$.
$S_{кон} = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 13) = \pi \cdot 5 \cdot 18 = 90\pi$ см².

$\frac{S_{пир}}{S_{кон}}$
Найдём отношение площадей полной поверхности пирамиды и конуса:
$\frac{S_{пир}}{S_{кон}} = \frac{84 + 12\sqrt{17} + 12\sqrt{10}}{90\pi} = \frac{12(7 + \sqrt{17} + \sqrt{10})}{90\pi} = \frac{2(7 + \sqrt{17} + \sqrt{10})}{15\pi}$.
Ответ: $\frac{2(7 + \sqrt{17} + \sqrt{10})}{15\pi}$.