Страница 31 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

42 Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы. (Задача 425 учебника.)

Доказательство.

Центр сферы, вписанной в многогранник, в частности в правильную призму, является точкой, равноудалённой от плоскостей всех _________. Пусть $A_1A_2A_3...A_nB_1B_2B_3...B_n$ — правильная призма, в которую можно вписать сферу, точка $O$ — центр вписанной сферы, $O_1$ и $O_2$ — центры оснований призмы.

Так как точка $O$ равноудалена от плоскостей граней $A_1A_2B_2B_1$ и $A_1A_nB_nB_1$, то она лежит в полуплоскости (обозначим её $\alpha$), делящей пополам _________ угол с ребром _________. Полуплоскость $\alpha$ проходит через ребро _________ и параллельную ему прямую _________, поскольку углы $A_2A_1A_n$ и $B_2B_1B_n$ являются _________ двухгранного угла с ребром _________, а лучи $A_1O_1$ и $B_1O_2$ — _________ этих линейных углов.

Точно так же точка $O$ лежит в полуплоскости $\beta$, делящей пополам двухгранный угол с ребром $A_2B_2$. Полуплоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по _________. Следовательно, точка $O$ лежит на _________.

С другой стороны, так как точка $O$ равноудалена от плоскостей оснований призмы, то она лежит в плоскости, параллельной плоскостям оснований и проходящей через _________ отрезка $O_1O_2$. Итак, точка $O$ есть _________, что и требовалось доказать.

Доказательство.

Центр сферы, вписанной в многогранник, в частности в правильную призму, является точкой, равноудалённой от плоскостей всех его граней. Пусть $A_1A_2A_3...A_nB_1B_2B_3...B_n$ — правильная призма, в которую можно вписать сферу, точка $O$ — центр вписанной сферы, $O_1$ и $O_2$ — центры оснований призмы.

Так как точка $O$ равноудалена от плоскостей граней $A_1A_2B_2B_1$ и $A_1A_nB_nB_1$, то она лежит в полуплоскости (обозначим её $\alpha$), делящей пополам двугранный угол с ребром $A_1B_1$. Полуплоскость $\alpha$ проходит через ребро $A_1B_1$ и параллельную ему прямую $O_1O_2$, поскольку углы $\angle A_2A_1A_n$ и $\angle B_2B_1B_n$ являются линейными углами двугранного угла с ребром $A_1B_1$, а лучи $A_1O_1$ и $B_1O_2$ — биссектрисами этих линейных углов.

Точно так же точка $O$ лежит в полуплоскости $\beta$, делящей пополам двугранный угол с ребром $A_2B_2$. Полуплоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $O_1O_2$. Следовательно, точка $O$ лежит на этой прямой.

С другой стороны, так как точка $O$ равноудалена от плоскостей оснований призмы, то она лежит в плоскости, параллельной плоскостям оснований и проходящей через середину отрезка $O_1O_2$. Итак, точка $O$ есть середина отрезка $O_1O_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.