Страница 25 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

34 Две касательные плоскости к сфере пересекаются по прямой $l$. Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, перпендикулярна $l$.

Доказательство.

Пусть $A$ и $B$ — точки касания сферы с центром $O$ и плоскостей $\alpha$ и $\beta$, $l$ — линия пересечения этих плоскостей. Тогда $OA \perp \alpha$, $OB \perp \beta$ (так как радиус, проведённый в ___________ касания сферы и ___________ к этой плоскости).

Через пересекающиеся прямые $OA$ и $OB$ проведём плоскость $\gamma$. Так как $OA \perp \alpha$, то прямая $OA$ перпендикулярна к любой ___________, лежащей ___________, и, следовательно, $OA \perp l$. Аналогично $OB \perp l$.

Таким образом, прямая $l$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым (___________ и ___________), лежащим ___________ $\gamma$. Поэтому $l \perp ___________$, а так как прямая $AB$ лежит ___________, то $l \perp ___________$.

Доказательство.

Пусть А и В — точки касания сферы с центром О и плоскостей $\alpha$ и $\beta$, $l$ — линия пересечения этих плоскостей. Тогда $OA \perp \alpha$, $OB \perp \beta$ (так как радиус, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к этой плоскости).

Через пересекающиеся прямые OA и OB проведём плоскость $\gamma$. Так как $OA \perp \alpha$, то прямая OA перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, и, следовательно, $OA \perp l$. Аналогично $OB \perp$ l.

Таким образом, прямая $l$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым (OA и OB), лежащим в плоскости $\gamma$. Поэтому $l \perp$ $\gamma$, а так как прямая AB лежит в плоскости $\gamma$, то $l \perp$ AB.

Ответ: Утверждение доказано. Пропуски в тексте доказательства заполнены, что восстанавливает полную логическую цепочку рассуждений и приводит к выводу, что прямая, соединяющая точки касания (AB), перпендикулярна линии пересечения касательных плоскостей ($l$).