Страница 19 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

25 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к этому радиусу плоскость. Найдите отношение площади полученного сечения к площади большого круга.

Решение.

Пусть точка $O$ — центр данного шара, $OB = R$ — его радиус, точка $O_1$ — середина радиуса $OB$. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к $OB$ и проходящей через точку $O_1$, есть радиусом $r = $ .

Из $OO_1A$ находим:

$r^2 = $ . Следовательно, $\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{бол. кр}}} = $

Ответ.

Решение.

Пусть $R$ — радиус шара. Большой круг шара — это сечение, проходящее через центр шара. Его радиус также равен $R$, а его площадь $S_{бол.кр}$ вычисляется по формуле:
$S_{бол.кр} = \pi R^2$

По условию, секущая плоскость проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему. Пусть радиус шара — это отрезок $OB$, где $O$ — центр шара. Тогда $OB = R$. Пусть точка $O_1$ — середина радиуса $OB$. Расстояние от центра шара до секущей плоскости равно длине отрезка $OO_1$:
$OO_1 = \frac{OB}{2} = \frac{R}{2}$

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Пусть радиус этого круга равен $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$, где $A$ — точка на окружности сечения и одновременно на поверхности шара. В этом треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу шара ($OA=R$), катет $OO_1$ равен расстоянию от центра шара до плоскости сечения ($OO_1 = \frac{R}{2}$), а второй катет $O_1A$ равен радиусу сечения ($O_1A = r$).

По теореме Пифагора:
$OA^2 = OO_1^2 + (O_1A)^2$
$R^2 = (\frac{R}{2})^2 + r^2$

Выразим $r^2$:
$r^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{4R^2 - R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

Площадь полученного сечения $S_{сеч}$ равна:
$S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \frac{3R^2}{4}$

Теперь найдем отношение площади полученного сечения к площади большого круга:
$\frac{S_{сеч}}{S_{бол.кр}} = \frac{\pi \frac{3R^2}{4}}{\pi R^2}$

Сократив $\pi R^2$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{S_{сеч}}{S_{бол.кр}} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

26 Вершины треугольника $ABC$ лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $\sqrt{26}$ см, $AB = 7$ см, $BC = 24$ см, $AC = 25$ см.

Пусть точки $A, B$ и $C$ лежат на сфере с центром $O$. Через точки $A, B$ и $C$ проведём плоскость $\alpha$, а из точки $O$ — перпендикуляр $OO_1$ к этой плоскости. Тогда в сечении сферы плоскостью $\alpha$ получим ___________ с центром в $O_1$.

Таким образом, точка $O_1$ является центром окружности, ___________ около ___________. По условию $AC = 25$ см, $BC = 24$ см, $AB = 7$ см, следовательно, треугольник $ABC$ _______________ (по теореме, обратной ______________: $25^2 = ____________ + ___________$).

Поэтому $AC$ — диаметр окружности с центром $O_1$, $O_1A = _________ см.

Так как $OO_1 \perp \alpha$, то $\Delta AO_1O$ _______________ и $R = AO = ____________ = ____________$ (см).

Пусть вершины треугольника A, B и С лежат на сфере с центром в точке О. Плоскость $\alpha$, проходящая через эти три точки, пересекает сферу по окружности. Точки A, B и C лежат на этой окружности, следовательно, она является описанной около треугольника ABC. Центр этой окружности, $O_1$, является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы О на плоскость $\alpha$.

По условию, стороны треугольника равны $AB = 7$ см, $BC = 24$ см и $AC = 25$ см. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Сравним квадрат наибольшей стороны $AC$ с суммой квадратов двух других сторон: $AC^2 = 25^2 = 625$; $AB^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$. Так как $AC^2 = AB^2 + BC^2$, треугольник ABC — прямоугольный, а AC — его гипотенуза.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы. Таким образом, точка $O_1$ — середина AC. Радиус этой описанной окружности $r$ (отрезок $O_1A$) равен половине гипотенузы: $r = O_1A = \frac{AC}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$ см.

Радиус сферы $R$ — это отрезок OA, соединяющий центр сферы с точкой на ней. Рассмотрим треугольник $\triangle OO_1A$. Он прямоугольный, так как отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, перпендикулярен и прямой $O_1A$, лежащей в этой плоскости. Катетами этого треугольника являются $OO_1$ (расстояние от центра сферы до плоскости треугольника) и $O_1A$ (радиус описанной окружности). Гипотенуза — $OA=R$. По условию $OO_1 = \sqrt{26}$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle OO_1A$, чтобы найти радиус сферы $R$: $R^2 = OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2$ $R = \sqrt{OO_1^2 + O_1A^2} = \sqrt{(\sqrt{26})^2 + (12,5)^2} = \sqrt{26 + 156,25} = \sqrt{182,25} = 13,5$ см.

Ответ: $R = 13,5$ см.