Страница 14 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

19 Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, где $R > r$, а площадь осевого сечения равна $(R^2 - r^2)\sqrt{3}$. Найдите угол $\alpha$ между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение.

Изобразим данный усечённый конус и построим его осевое сечение $ABCD$, которое является равнобочной трапецией. По условию задачи $O_1A = r$, $OB = R$.

1) Проведём $AH \parallel OO_1$. Тогда $AH$ — перпендикуляр к основанию основания конуса, и, следовательно, $\angle ABH = \alpha$ — угол между $AB$ и плоскостью основания.

2) В прямоугольном треугольнике $ABH$ $AH = HB \operatorname{tg} \alpha$. Так как $HB = OB - OH = R - AO_1 = R - r$, то $AH = (R - r) \operatorname{tg} \alpha$.

3) $S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot AH = \frac{2R + 2r}{2}(R - r) \operatorname{tg} \alpha = (R^2 - r^2)$

4) По условию задачи $S_{ABCD} = (R^2 - r^2) \sqrt{3}$. Следовательно, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{(R^2 - r^2)\sqrt{3}}{(R^2 - r^2)} = \sqrt{3}$, откуда $\alpha = 60^\circ$.

Ответ. $60^\circ$

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой служат диаметры оснований конуса. Обозначим осевое сечение как $ABCD$, где $BC$ — диаметр нижнего основания, а $AD$ — диаметр верхнего основания. По условию, радиус нижнего основания $OB = R$, а радиус верхнего основания $O_1A = r$.

1) Проведём из вершины $A$ высоту $AH$ к основанию $BC$. Ось конуса $OO_1$ перпендикулярна его основаниям. По построению $AH$ параллельна $OO_1$, следовательно, $AH$ также перпендикулярна плоскости нижнего основания. Угол между образующей (наклонной $AB$) и плоскостью основания — это угол между самой образующей и её проекцией на эту плоскость ($HB$). Таким образом, искомый угол — это $\angle ABH = \alpha$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Длину катета $HB$ можно найти как разность радиусов оснований. Так как $AHO_1O$ является прямоугольником, то $OH = AO_1 = r$. Следовательно, $HB = OB - OH = R - r$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем $\operatorname{tg}\alpha = \frac{AH}{HB}$. Отсюда можно выразить высоту трапеции $AH$:$AH = HB \cdot \operatorname{tg}\alpha = (R - r)\operatorname{tg}\alpha$.

3) Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AH$.Длины оснований трапеции равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2r$ и $BC = 2R$. Подставим известные значения в формулу площади:$S_{ABCD} = \frac{2r + 2R}{2} \cdot (R - r)\operatorname{tg}\alpha$Упростим полученное выражение:$S_{ABCD} = (R + r)(R - r)\operatorname{tg}\alpha = (R^2 - r^2)\operatorname{tg}\alpha$.

4) По условию задачи площадь осевого сечения равна $S_{ABCD} = (R^2 - r^2)\sqrt{3}$. Приравняем это выражение к тому, что мы получили в пункте 3:$(R^2 - r^2)\operatorname{tg}\alpha = (R^2 - r^2)\sqrt{3}$Поскольку $R > r$, то $R^2 - r^2 \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(R^2 - r^2)$:$\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3}$Угол $\alpha$ является острым углом в прямоугольном треугольнике, поэтому он однозначно определяется своим тангенсом.$\alpha = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.