Страница 7 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

7 Угол между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра равен $60^\circ$, диагональ равна 6 м. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.

На рисунке изображена развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник $AA_1B_1B$, где $AA_1$ и $BB_1$ — образующие цилиндра. По условию $\angle AOA_1 = 60^\circ$, $AB_1 = 6$ м.

1) Так как в прямоугольнике $AA_1B_1B$ диагонали $A_1B$, $AO$ и $AB_1$ равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам, то $AO = OB_1$ и $A_1O = OB$. Следовательно, треугольник $AOA_1$ равнобедренный с $AO = A_1O$. Его высота $OH$ является медианой, поэтому $AH = \frac{1}{2} AA_1$. Поэто-му $\angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOA_1 = 30^\circ$, $AH = AO \cdot \sin 30^\circ = AO \cdot \frac{1}{2} = \frac{AO}{2}$.

Значит, $AA_1 = 2AH = AO$.

Также в прямоугольнике $HO = AO \cdot \cos 30^\circ = AO \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AO\sqrt{3}}{2}$, $AB = 2HO = AO\sqrt{3}$.

2) Пусть $r$ — радиус цилиндра, тогда $AB = 2\pi r$.

$AO\sqrt{3} = 2\pi r$, откуда $r = \frac{AO\sqrt{3}}{2\pi}$.

3) $S_{\text{цил}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$, где $S_{\text{бок}} = AB \cdot AA_1 = AO\sqrt{3} \cdot AO = AO^2\sqrt{3}$ (м$^2$), $S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{AO\sqrt{3}}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{AO^2 \cdot 3}{4\pi^2} = \frac{3AO^2}{4\pi}$ (м$^2$).

Итак, $S_{\text{цил}} = AO^2\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{3AO^2}{4\pi} = AO^2\sqrt{3} + \frac{3AO^2}{2\pi}$ (м$^2$).

Ответ.

Развёрткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник, обозначим его $AA_1B_1B$. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h = AA_1$ и длина окружности его основания $C = AB$. Диагонали развёртки $AB_1$ и $A_1B$ равны 6 м. Точка их пересечения — $O$. По условию, угол между диагоналями равен $60°$, пусть это будет острый угол $\angle AOA_1 = 60°$.

1) Найдём стороны прямоугольника $AA_1B_1B$.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, поэтому отрезки $AO$ и $A_1O$ равны:$AO = A_1O = \frac{1}{2} AB_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ м.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOA_1$. Так как $AO = A_1O = 3$ м, он является равнобедренным. Угол при вершине $\angle AOA_1$ равен $60°$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60°$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны 3 м.Таким образом, сторона прямоугольника $AA_1$ равна 3 м. Это высота цилиндра: $h = AA_1 = 3$ м.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он также равнобедренный, так как $AO = OB = 3$ м. Угол $\angle AOB$ является смежным с углом $\angle AOA_1$, поэтому:$\angle AOB = 180° - \angle AOA_1 = 180° - 60° = 120°$.

Сторону $AB$ (вторую сторону прямоугольника) найдём по теореме косинусов для $\triangle AOB$:$AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2 \cdot AO \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$$AB^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(120°) = 9 + 9 - 18 \cdot (-\frac{1}{2}) = 18 + 9 = 27$.$AB = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ м.Это длина окружности основания цилиндра: $C = AB = 3\sqrt{3}$ м.

Ответ: Высота цилиндра равна $3$ м, а длина окружности основания равна $3\sqrt{3}$ м.

2) Найдём радиус основания цилиндра $r$.

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Мы уже нашли, что $C = 3\sqrt{3}$ м.Приравняем и выразим радиус:$2\pi r = 3\sqrt{3}$$r = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$ м.

Ответ: Радиус основания цилиндра равен $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$ м.

3) Найдём площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил}$.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей основания ($S_{осн}$):$S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности — это площадь прямоугольника развёртки:$S_{бок} = AB \cdot AA_1 = 3\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$ м$^2$.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:$S_{осн} = \pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{9 \cdot 3}{4\pi^2} = \pi \cdot \frac{27}{4\pi^2} = \frac{27}{4\pi}$ м$^2$.

Теперь вычислим площадь полной поверхности:$S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 9\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{27}{4\pi} = 9\sqrt{3} + \frac{27}{2\pi}$ м$^2$.

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна $9\sqrt{3} + \frac{27}{2\pi}$ м$^2$.

8 Цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами $a$ и $2a$ вокруг большей стороны. Найдите площадь:

а) осевого сечения цилиндра;

б) боковой поверхности цилиндра.

Решение.

Пусть $r$ — радиус цилиндра, $h$ — его высота. По условию $r = a$, $h = 2a$.

а) $S_{\text{сеч}} = 2a \cdot 2a = 4a^2$

б) $S_{\text{бок}} = 2\pi a h = 2\pi \cdot a \cdot 2a = 4\pi a^2$

Ответ. а) $4a^2$; б) $4\pi a^2$

По условию задачи, цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами $a$ и $2a$ вокруг его большей стороны. Большая сторона, равная $2a$, становится осью вращения и высотой цилиндра $h$. Меньшая сторона, равная $a$, становится радиусом основания цилиндра $r$.

Пусть $r$ — радиус цилиндра, $h$ — его высота. По условию $r = a$, $h = 2a$.

а) осевого сечения цилиндра
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания ($d = 2r$) и высоте цилиндра ($h$).
Найдем стороны этого прямоугольника:
Диаметр: $d = 2r = 2a$.
Высота: $h = 2a$.
Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ равна произведению его сторон:
$S_{сеч} = d \cdot h = 2a \cdot 2a = 4a^2$.
Ответ: $4a^2$

б) боковой поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$.
Подставим в формулу известные значения $r = a$ и $h = 2a$:
$S_{бок} = 2\pi \cdot a \cdot (2a) = 4\pi a^2$.
Ответ: $4\pi a^2$