Страница 5 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4 Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна $h$, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно $d$. (Задача 333 учебника.)

Решение.

Искомое сечение представляет собой ______ $ABB_1A_1$ (закончите построение на рисунке).

1) По условию задачи $AA_1 = _______$, $\stackrel{\frown}{ACB} = _______$. Проведём $OH \perp AB$, тогда $OH \perp$ к плоскости сечения. По условию задачи $OH = _______$

2) В равнобедренном _______ $AOB$ отрезок $OH$ — высота и, следовательно, _______ и _______ . Поэтому $AB = 2_______$, а так как $\angle AOB = _______$, то $\angle AOH = _______$

В прямоугольном треугольнике $AOH$ $AH = OH \cdot _______ = \sqrt{_______}$

3) Итак, $AB = _______$, $AH = 2d\sqrt{_______}$, $AA_1 = _______$, следовательно, $S_{ABB_1A_1} = _______ \cdot AA_1 = 2\sqrt{3}_______$

Ответ. _______ $dh$.

Искомое сечение представляет собой прямоугольник $ABB_1A_1$. Его стороны — это две образующие цилиндра ($AA_1$ и $BB_1$) и две равные хорды оснований ($AB$ и $A_1B_1$). Площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле $S = AB \cdot AA_1$.

1) По условию задачи, высота цилиндра равна $h$, следовательно, длина образующей $AA_1 = h$. Плоскость сечения отсекает от окружности основания дугу ◡ACB, градусная мера которой равна $120^\circ$. Расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно $d$. Это расстояние равно длине перпендикуляра $OH$, опущенного из центра основания $O$ на хорду $AB$. Таким образом, $OH = d$.

2) Рассмотрим треугольник $AOB$, лежащий в плоскости основания цилиндра. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, $OA = OB$, и, следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный. Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу ◡ACB, поэтому его величина равна градусной мере этой дуги: $\angle AOB = 120^\circ$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OH$, проведенная к основанию $AB$, является также биссектрисой и медианой. Поскольку $OH$ — биссектриса, она делит угол $\angle AOB$ пополам: $\angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$. Поскольку $OH$ — медиана, точка $H$ является серединой отрезка $AB$, то есть $AB = 2 \cdot AH$.

3) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $\angle OHA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $OH = d$ и прилежащий к нему угол $\angle AOH = 60^\circ$. Длину второго катета $AH$ можно найти с помощью тангенса:

$\tan(\angle AOH) = \frac{AH}{OH}$

$AH = OH \cdot \tan(60^\circ) = d \cdot \sqrt{3} = d\sqrt{3}$.

Зная $AH$, находим длину хорды $AB$:

$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot d\sqrt{3} = 2d\sqrt{3}$.

Наконец, вычисляем площадь прямоугольного сечения $S_{ABB_1A_1}$:

$S_{ABB_1A_1} = AB \cdot AA_1 = (2d\sqrt{3}) \cdot h = 2\sqrt{3}dh$.

Ответ: $2\sqrt{3}dh$.