Страница 6 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

5 Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. (Задача 337 учебника.)

Решение.

Пусть $h$ — высота цилиндра, $r$ — его радиус. По условию задачи

$S_{\text{бок}} = S$, т. е.

$2\pi r h = S$ (1)

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Поэтому площадь осевого сечения равна $2r \cdot h$.

Учитывая равенство (1), получаем $2rh = \frac{S}{\pi}$.

Ответ.

Решение.

Пусть $h$ — высота цилиндра, $r$ — его радиус. По условию задачи площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна $S$. Формула площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2πrh$. Следовательно, мы можем записать равенство:

$2πrh = S$ (1)

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник. Его стороны равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $2r$. Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) равна произведению его сторон:

$S_{сеч} = 2r \cdot h = 2rh$

Чтобы найти значение $S_{сеч}$, необходимо найти величину $2rh$. Из равенства (1) мы можем выразить $2rh$, разделив обе части на $π$:

$\frac{2πrh}{π} = \frac{S}{π}$

$2rh = \frac{S}{π}$

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна $\frac{S}{π}$.

Ответ: $\frac{S}{π}$.

6 Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.

Решение.

Если дно шляпы опустить на плоскость её полей, то получим круг радиуса r = ____ см.

Площадь этого круга $S_{кр} = \pi \underline{\quad} = \underline{\quad} (см^2)$.

Площадь $S_{бок}$ боковой поверхности цилиндрической части вычисляем по формуле $S_{бок} = \underline{\quad} r_1 h$, где $r_1 = \underline{\quad}$ см, $\underline{\quad}$ = 10 см.

Следовательно, $S_{бок} = \underline{\quad} 10 \cdot 10 = \underline{\quad} (см^2)$.

Итак, $S_{шляпы} = 2(S_{кр} + \underline{\quad}) = \underline{\quad} см^2$.

Ответ.

____ $см^2$.

Решение.

Чтобы найти общую площадь поверхности шляпы (внешней и внутренней), мы должны вычислить площадь всех ее частей. Шляпа состоит из цилиндрической тульи и плоских полей.

Согласно рисунку, имеем следующие размеры:

• Диаметр цилиндрической части: 20 см. Следовательно, ее радиус $r_1 = 20 / 2 = 10$ см.
• Высота цилиндрической части: $h = 10$ см.
• Ширина полей: 10 см.

Если дно шляпы опустить на плоскость её полей, то получим круг радиуса $r$.

Общий радиус шляпы $r$ равен сумме радиуса тульи и ширины полей: $r = r_1 + 10 \text{ см} = 10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Площадь этого круга $S_{кр}$.

Эта площадь объединяет площадь донышка шляпы и площадь верхней части полей. Вычисляем ее по формуле площади круга: $S_{кр} = \pi r^2 = \pi \cdot (20)^2 = 400\pi \text{ (см²)}$.

Площадь $S_{бок}$ боковой поверхности цилиндрической части вычисляем по формуле.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2\pi r_1 h$. Подставляем наши значения $r_1 = 10$ см и $h = 10$ см: $S_{бок} = 2\pi \cdot 10 \cdot 10 = 200\pi \text{ (см²)}$.

Итак, $S_{шляпы}$.

Полная площадь одной стороны шляпы (например, внешней) является суммой площади плоской части ($S_{кр}$) и боковой поверхности тульи ($S_{бок}$). $S_{одной\_стороны} = S_{кр} + S_{бок} = 400\pi + 200\pi = 600\pi \text{ (см²)}$. Поскольку требуется найти площадь и внешней, и внутренней поверхности, мы удваиваем это значение: $S_{шляпы} = 2 \cdot S_{одной\_стороны} = 2 \cdot (S_{кр} + S_{бок}) = 2(600\pi) = 1200\pi \text{ (см²)}$.

Ответ: $1200\pi$ см².