Страница 10 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

13 Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в $60^\circ$, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол $45^\circ$. (Задача 3546 учебника.)

Решение.

1) Так как хорда $AB$ стягивает дугу в $60^\circ$, то $AB = OA = \underline{\hspace{3cm}}$

2) Проведём $OC$ перпендикулярно к $AB$. Тогда $AB \perp \underline{\hspace{3cm}}$ (по теореме о трёх $\underline{\hspace{5cm}}$) и $\angle MCO \underline{\hspace{5cm}}$ угол двугранного угла с ребром $\underline{\hspace{5cm}}$. По условию $\angle MCO = \underline{\hspace{3cm}}$

3) В треугольнике $MCO$ $CO = \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$ см, $MC = \underline{\hspace{3cm}}$ см.

4) Из треугольника $AOC$ получаем $OA = \frac{\underline{\hspace{3cm}}}{\cos 30^\circ} = \underline{\hspace{3cm}}$ см.

Поэтому $AB = \underline{\hspace{3cm}}$ см.

5) $S_{MAB} = \frac{1}{2} \underline{\hspace{3cm}} \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} \cdot \underline{\hspace{3cm}} = \underline{\hspace{3cm}}$ $(\text{см}^2)$.

Ответ. $\underline{\hspace{7cm}}$

1) Так как хорда AB стягивает дугу в 60°, то соответствующий ей центральный угол $\angle AOB$ также равен 60°. Треугольник AOB образован двумя радиусами $OA$ и $OB$ и хордой $AB$. Поскольку $OA = OB$, треугольник $AOB$ является равнобедренным. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 60° является равносторонним, следовательно, все его стороны равны: $AB = OA = OB$.
Ответ: Так как хорда AB стягивает дугу в 60°, то $AB = OA = OB$.

2) Проведём в плоскости основания высоту $OC$ треугольника $AOB$ из точки $O$ к стороне $AB$. Так как $\triangle AOB$ равнобедренный, $OC$ является и медианой. Поскольку высота конуса $MO$ перпендикулярна плоскости основания, то $MO \perp OC$. Линия $OC$ является проекцией наклонной $MC$ на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция прямой ($OC$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AB$), то и сама наклонная ($MC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $MC \perp AB$. Угол между плоскостью сечения (MAB) и плоскостью основания — это двугранный угол, ребром которого является хорда $AB$. Линейный угол этого двугранного угла измеряется углом между двумя перпендикулярами к ребру, проведёнными в каждой из плоскостей. Мы имеем $OC \perp AB$ в плоскости основания и $MC \perp AB$ в плоскости сечения. Следовательно, $\angle MCO$ является линейным углом данного двугранного угла. По условию задачи, этот угол равен 45°.
Ответ: Проведём OC перпендикулярно к AB. Тогда $AB \perp MC$ (по теореме о трёх перпендикулярах), и $\angle MCO$ — линейный угол двугранного угла с ребром $AB$. По условию $\angle MCO = 45°$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник MCO (угол $\angle MOC = 90°$, так как $MO$ — высота конуса). Из условия задачи высота $MO = 10$ см. Угол $\angle MCO = 45°$. Сумма углов в треугольнике составляет 180°, поэтому $\angle CMO = 180° - 90° - 45° = 45°$. Так как углы при гипотенузе $MC$ равны, треугольник MCO является равнобедренным, и его катеты равны: $CO = MO = 10$ см. Гипотенузу $MC$ (которая также является высотой сечения $\triangle MAB$) найдём по теореме Пифагора: $MC = \sqrt{MO^2 + CO^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.
Ответ: В треугольнике MCO $CO = MO = 10$ см, $MC = 10\sqrt{2}$ см.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC ($\angle ACO = 90°$). В равностороннем треугольнике AOB высота $OC$ является также и биссектрисой, поэтому $\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{60°}{2} = 30°$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём радиус основания $OA$: $\cos(\angle AOC) = \frac{OC}{OA}$, откуда $OA = \frac{OC}{\cos{30°}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см. Поскольку $\triangle AOB$ равносторонний, то $AB = OA = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: Из треугольника AOC получаем $OA = \frac{OC}{\cos{30°}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см. Поэтому $AB = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

5) Площадь сечения $S_{MAB}$ равна площади треугольника MAB. Она вычисляется как половина произведения длины основания $AB$ на высоту $MC$.
$S_{MAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{200\sqrt{6}}{6} = \frac{100\sqrt{6}}{3}$ см².
Ответ: $S_{MAB} = \frac{1}{2} AB \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{100\sqrt{6}}{3}$ (см²).

Ответ: $\frac{100\sqrt{6}}{3}$ см².

14 Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с радиусом 4 м и дугой в 90°. Найдите радиус основания и высоту конуса.

Решение.

Обозначим радиус основания дан-ного ____ буквой $r$, высоту — буквой $h$, образующую — буквой $l$. По условию $l = 4$ м, площадь развёртки (сектора) равна $\frac{l^2}{360} \cdot 90 = 4 \pi м^2$.

Поэтому $S_{бок} = \pi r l = 4\pi$, откуда получаем $r = 1$ м.

Из прямоугольного треугольни-ка $POA$ находим: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$ (м).

Ответ. $r = 1; h = \sqrt{15}$

Обозначим радиус основания конуса через $r$, высоту — через $h$, а образующую — через $l$.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Из условия задачи известно, что радиус сектора равен 4 м, а его центральный угол составляет $90^\circ$.

Радиус основания

Радиус сектора равен образующей конуса, следовательно, $l = 4$ м.

Длина дуги сектора ($L$) вычисляется по формуле: $L = \frac{2\pi l \alpha}{360^\circ}$, где $\alpha$ — центральный угол сектора.

Подставим известные значения:

$L = \frac{2\pi \cdot 4 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi$ м.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса ($C$), которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Приравниваем $L = C$:

$2\pi r = 2\pi$

Отсюда находим радиус основания:

$r = 1$ м.

Высота конуса

Высота конуса $h$, радиус его основания $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим отсюда высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения $l = 4$ м и $r = 1$ м:

$h = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$ м.

Ответ: $r = 1$ м; $h = \sqrt{15}$ м.