Страница 17 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

22 Точки А и В лежат на сфере с центром $O \notin AB$, а точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Докажите, что:

а) если $M$ — середина отрезка $AB$, то $OM \perp AB$;

б) если $OM \perp AB$, то $M$ — середина отрезка $AB$.

(Задача 372 учебника.)

Доказательство.

а) Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$, $R$ — радиус сферы. $\triangle AOB$ равнобедренный, так как _______ $= R$, поэтому медиана $OM$ является также _______ , т. е. _______ $AB$.

б) Пусть $OM \perp AB$. Треугольник $AOB$ равнобедренный, и $OM$ — его высота по _______ , следовательно, $OM$ — его _______ , т. е. $M$ — _______ .

а) если M — середина отрезка AB, то OM ⊥ AB

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на сфере с центром в точке $O$, то отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой сферы. Следовательно, их длины равны: $OA = OB = R$, где $R$ – радиус сферы.

Поскольку две стороны треугольника $AOB$ равны ($OA = OB$), он является равнобедренным с основанием $AB$.

По условию, точка $M$ – середина отрезка $AB$. Это означает, что отрезок $OM$ соединяет вершину треугольника $O$ с серединой противолежащей стороны $AB$, то есть $OM$ является медианой треугольника $AOB$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является также высотой и биссектрисой. Поскольку $OM$ является высотой, она перпендикулярна основанию $AB$.

Таким образом, $OM \perp AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $M$ — середина отрезка $AB$, то $OM \perp AB$.

б) если OM ⊥ AB, то M — середина отрезка AB

Рассмотрим треугольник $AOB$. Как и в предыдущем пункте, так как точки $A$ и $B$ лежат на сфере с центром в точке $O$, треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$, поскольку $OA = OB = R$.

По условию, $OM \perp AB$. По определению высоты треугольника, отрезок $OM$ является высотой треугольника $AOB$, проведенной из вершины $O$ к основанию $AB$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к его основанию, является также медианой и биссектрисой.

Поскольку $OM$ является медианой, она делит сторону, к которой проведена (основание $AB$), на два равных отрезка: $AM = MB$.

Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $OM \perp AB$, то $M$ — середина отрезка $AB$.