Страница 15 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

20 В трапеции $ABCD$ $\angle A = 90^\circ$, $\angle D = 45^\circ$, $BC = 4$ см, $CD = 3\sqrt{2}$ см.

Вычислите площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны $AB$. (Задача 370 учебника.)

Решение.

При вращении данной трапеции получается _______ конус.

1) Проведём $CH \perp$ _______. Тогда $HD = \text{_______} \cdot \cos 45^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \text{_______} = \text{_______}$ см, $AD = AH + \text{_______} = \text{_______}$ см.

2) $S_{\text{бок}} = \pi (BC + \text{_______}) \cdot \text{_______} = \text{_______} (\text{_______} + 7) \cdot 3\sqrt{2} = \text{_______} \pi \sqrt{\text{_______}}$ ($\text{см}^2$).

3) $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + \pi BC^2 + \text{_______} = \text{_______} + \text{_______} + 49 \pi = (\text{_______} + 65)\pi$ ($\text{см}^2$).

Ответ. _______ $\text{см}^2$ и _______

При вращении данной трапеции $ABCD$ вокруг стороны $AB$ образуется усечённый конус. Для вычисления его площадей сначала найдём все необходимые параметры.

Исходные данные:

• Радиус верхнего основания: $r = BC = 4$ см.
• Образующая: $l = CD = 3\sqrt{2}$ см.
• Угол при большем основании: $\angle D = 45^\circ$.

Нам необходимо найти радиус нижнего основания $R = AD$.

1) Проведём CH ⊥ AD.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Поскольку трапеция $ABCD$ прямоугольная ($\angle A = 90^\circ$), фигура $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $AH = BC = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нём гипотенуза $CD = 3\sqrt{2}$ см, а угол $\angle D = 45^\circ$. Найдём катет $HD$:

$HD = CD \cdot \cos(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.

Теперь мы можем найти радиус нижнего основания $R$, который равен стороне $AD$ трапеции:

$R = AD = AH + HD = 4 + 3 = 7$ см.

2) S_бок = π(BC + AD) · l

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(r+R)l$. Подставим в неё наши значения $r=4$ см, $R=7$ см и $l=3\sqrt{2}$ см:

$S_{бок} = \pi(4 + 7) \cdot 3\sqrt{2} = \pi \cdot 11 \cdot 3\sqrt{2} = 33\sqrt{2}\pi$ см².

Ответ: $33\sqrt{2}\pi$ см².

3) S_полн = S_бок + πBC² + πAD²

Площадь полной поверхности усечённого конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{верхн} = \pi r^2$ и $S_{нижн} = \pi R^2$).

Подставим известные значения в формулу:

$S_{полн} = 33\sqrt{2}\pi + \pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 7^2 = 33\sqrt{2}\pi + 16\pi + 49\pi$.

Сгруппируем слагаемые:

$S_{полн} = (33\sqrt{2} + 16 + 49)\pi = (33\sqrt{2} + 65)\pi$ см².

Ответ: $(33\sqrt{2} + 65)\pi$ см².