Страница 22 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

30 Все стороны равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) касаются сферы, радиус которой равен $a\sqrt{3}$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости трапеции, если $AB = CD = a\sqrt{5}$, $AD = a(1 + \sqrt{5})$.

Решение.

Пусть стороны трапеции $ABCD$ касаются сферы с центром $O$ и радиусом $R$, отрезок $OO_1$ — перпендикуляр, проведённый из точки $O$ к плоскости трапеции. Тогда точки касания сторон трапеции и сферы лежат на ______________ в эту трапецию, и $O_1$ — ______________ (см. рис. а). Рассмотрим трапецию $ABCD$ (см. рис. б). Пусть $r$ — радиус вписанной в неё окружности, $BE$ — высота трапеции. Так как в трапецию можно вписать окружность, то $2AB = ______________, откуда BC = ______________$.

Далее, $AE = \frac{1}{2} ______________ = ______________ = ______________$.

Из ______________ треугольника $BEA$ находим: $BE = ______________ = ______________$. Но $BE = 2r$, поэтому $O_1F = r = ______________$. Так как $F$ — точка касания сферы и трапеции, $OO_1 \perp ______________, то OF = ______________$.

и из ______________ треугольника $OO_1F$ (см. рис. а) находим: $OO_1 = ______________ = ______________$.

Ответ.

Ответ. ______________

Поскольку все стороны трапеции ABCD касаются сферы, плоскость трапеции пересекает сферу по окружности, которая вписана в эту трапецию. Пусть O — центр сферы, а $O_1$ — центр вписанной в трапецию окружности. Тогда отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости трапеции, и его длина является искомым расстоянием.

Пусть R — радиус сферы, а r — радиус вписанной окружности. Нам дано $R = a\sqrt{3}$.

Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы её противоположных сторон равны:$AD + BC = AB + CD$По условию, трапеция равнобедренная, $AB = CD = a\sqrt{5}$, и основание $AD = a(1 + \sqrt{5})$. Подставим известные значения в равенство:$a(1 + \sqrt{5}) + BC = a\sqrt{5} + a\sqrt{5}$$a + a\sqrt{5} + BC = 2a\sqrt{5}$$BC = 2a\sqrt{5} - a\sqrt{5} - a = a\sqrt{5} - a = a(\sqrt{5} - 1)$

Проведём высоту BE из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции длина отрезка AE, который высота отсекает на большем основании, вычисляется по формуле:$AE = \frac{AD - BC}{2}$$AE = \frac{a(1 + \sqrt{5}) - a(\sqrt{5} - 1)}{2} = \frac{a + a\sqrt{5} - a\sqrt{5} + a}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. По теореме Пифагора найдём высоту трапеции BE:$BE^2 = AB^2 - AE^2$$BE^2 = (a\sqrt{5})^2 - a^2 = 5a^2 - a^2 = 4a^2$$BE = \sqrt{4a^2} = 2a$

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $BE = 2r$.$2a = 2r$, откуда радиус вписанной окружности $r = a$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1F$, где F — точка касания вписанной окружности со стороной трапеции (например, AD). Катеты этого треугольника — это искомое расстояние $OO_1$ и радиус вписанной окружности $O_1F = r$. Гипотенуза — это радиус сферы $OF = R$, так как F — это также точка касания стороны трапеции со сферой.

По теореме Пифагора:$OO_1^2 + O_1F^2 = OF^2$$OO_1^2 + r^2 = R^2$$OO_1^2 + a^2 = (a\sqrt{3})^2$$OO_1^2 + a^2 = 3a^2$$OO_1^2 = 2a^2$$OO_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Ответ: $a\sqrt{2}$.