Страница 27 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

37 Все стороны ромба касаются сферы. Сторона ромба равна 2 см, а угол равен $60^\circ$. Расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь сферы.

Решение.

Пусть стороны ромба $ABCD$ касаются сферы с центром $O$ и радиусом $R$, отрезок $OO_1$ — перпендикуляр, проведённый из точки $O$ к плоскости ромба. Тогда точки касания сторон ромба и сферы лежат на окружности, ______ в этот ромб, и $O_1$ — центр _______.

Проведём высоту $BH$ ромба. Радиус $r$ вписанной окружности равен _______ $BH$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ находим: $BH = AB \cdot$ _______ $=$ _______ (см), следовательно, $r =$ _______. Пусть $F$ —

точка касания стороны $AD$ ромба и сферы. Из _______ треугольника $O_1OF$, в котором $OO_1 =$ _______ см, $O_1F =$ _______ см, находим радиус сферы: $R = OF =$ _______ $=$ _______ (см).

$S_{сферы}$ $=$ _______ $=$ _______ (см$^2$).

Ответ.

_______ см$^2$.

Поскольку все стороны ромба касаются сферы, то сечение сферы плоскостью ромба образует окружность, которая вписана в этот ромб. Центр этой окружности, точка $O_1$, является проекцией центра сферы $O$ на плоскость ромба. Расстояние от центра сферы до плоскости ромба — это длина перпендикуляра $OO_1$, и по условию $OO_1 = 2\sqrt{3}$ см.

Для нахождения радиуса вписанной окружности ($r$) сначала найдем высоту ромба ($BH$). Дан ромб $ABCD$ со стороной $AB = 2$ см и острым углом $\angle A = 60^\circ$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ равен произведению гипотенузы $AB$ на синус противолежащего угла $\angle A$:
$BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.
Высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности, поэтому радиус $r$ равен половине высоты:
$r = \frac{BH}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Ответ: $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Радиус сферы ($R$) можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $OO_1F$, где $F$ — точка касания сферы со стороной ромба $AD$. Катет $OO_1$ — это расстояние от центра сферы до плоскости ромба ($OO_1 = 2\sqrt{3}$ см), а катет $O_1F$ — это радиус вписанной в ромб окружности ($O_1F = r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см). Гипотенуза $OF$ является радиусом сферы $R$.
По теореме Пифагора:
$R^2 = OF^2 = OO_1^2 + O_1F^2$
$R^2 = (2\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 12 + \frac{3}{4} = \frac{48+3}{4} = \frac{51}{4}$
Следовательно, радиус сферы:
$R = \sqrt{\frac{51}{4}} = \frac{\sqrt{51}}{2}$ см.
Ответ: $R = \frac{\sqrt{51}}{2}$ см.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$. Используя найденное значение $R^2 = \frac{51}{4}$, получаем:
$S_{\text{сферы}} = 4\pi \cdot \frac{51}{4} = 51\pi$ см².
Ответ: $S_{\text{сферы}} = 51\pi$ см².