Страница 24 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

32 Плоскость $\alpha$ касается сферы в точке $A$. Докажите, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку $A$ и образующими равные углы с плоскостью $\alpha$, имеют равные радиусы.

Доказательство.

Пусть секущая плоскость $\beta$, проведённая через точку $A$, лежащую на сфере с центром $O$ и радиусом $R$, образует угол $\varphi$ с плоскостью $\alpha$, касающейся этой сферы в точке $A$. Тогда $OA \perp \alpha$. Пусть $O_1$ — центр, $r$ — радиус полученного сечения, $l$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, $O_1H$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.

1) Так как $l \perp O_1A$ ($l$ — касательная к окружности с центром $O_1$, $O_1A$ — радиус в точку касания, проведённый к точке касания), то $l \perp HA$ (теорема о трёх перпендикулярах). Поэтому $\angle O_1AH = \varphi$ (линейный угол между плоскостями).

2) Поскольку $OA \perp \alpha$ и $O_1H \perp \alpha$, то $OA \parallel O_1H$, и, следовательно, отрезки $AH, O_1A$ и $OA$ лежат в одной плоскости, а значит, $\angle OAO_1 = 90^\circ - \varphi$.

3) Из прямоугольного треугольника $AO_1O$ получаем $r = O_1A = R \sin \varphi$.

Итак, радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью $\beta$, зависит лишь от радиуса сферы и угла между плоскостями. Отсюда следует, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку $A$ и образующими равные углы с плоскостью $\alpha$, имеют равные радиусы.

Пусть секущая плоскость $\beta$, проведённая через точку A, лежащую на сфере с центром O и радиусом R, образует угол $\phi$ с плоскостью $\alpha$, касающейся этой сферы в точке A. Тогда $OA \perp \alpha$. Пусть $O_1$ — центр, $r$ — радиус полученного сечения, $l$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, $O_1H$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.

1) Так как $l \perp O_1A$ ($l$ — касательная к окружности сечения, $O_1A$ — радиус, проведённый в точку касания), то $l \perp HA$ (теорема о трех перпендикулярах). Поэтому $\angle O_1AH = \phi$ (линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$).

Ответ: В пропуски вставлены: «касательная», «сечения», «в точку», «о трех перпендикулярах», «$O_1AH$», «угол двугранного угла», «плоскостями $\alpha$ и $\beta$».

2) Поскольку $OA \perp \alpha$ и $O_1H \perp \alpha$, то $OA \parallel O_1H$, и, следовательно, отрезки $AH, O_1A$ и $OA$ лежат в одной плоскости, а значит, $\angle OAO_1 = 90^\circ - \phi$.

Ответ: В пропуски вставлены: «плоскости», «$90^\circ - \phi$».

3) Из прямоугольного треугольника $AOO_1$ получаем $r = O_1A = R \sin\phi$.

Ответ: В пропуски вставлены: «прямоугольного», «$R \sin\phi$».

Итак, радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью $\beta$, зависит лишь от радиуса сферы и угла между плоскостями. Отсюда следует, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку A и образующими равные углы с плоскостью $\alpha$, имеют равные радиусы.

33 Через точку A сферы проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом в $60^\circ$ к касательной плоскости. Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости, если радиус сферы равен 13 см.

Решение.

Пусть секущая плоскость $\beta$, проведённая через точку A, лежащую на сфере с центром O и радиусом $OA = 13$ см, образует угол в $60^\circ$ с плоскостью $\alpha$, касающейся этой сферы в точке A (см. рисунок к задаче 32 и её решение). Рассмотрим плоскость, заданную параллельными прямыми $O_1H$ и $OA$ (см. рис.), где _______ — искомое расстояние от центра сферы до секущей плоскости $\beta$. Так как $\angle$_______ $= 60^\circ$ (по _______), то $\angle OAO_1 = $ _______ $=$ _______ (см).

Поэтому в прямоугольном треугольнике _______ $OO_1 = $ _______ $OA = $ _______ $=$ _______ (см).

Ответ.

_______ см.

Решение

Пусть $O$ — центр сферы, а $A$ — точка на сфере. Радиус сферы $R = OA = 13$ см.

Пусть $\alpha$ — плоскость, касательная к сфере в точке $A$, а $\beta$ — секущая плоскость, также проходящая через точку $A$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ составляет $60^\circ$.

По свойству касательной плоскости, радиус $OA$, проведённый в точку касания $A$, перпендикулярен плоскости $\alpha$. То есть, $OA \perp \alpha$.

Искомое расстояние от центра сферы $O$ до секущей плоскости $\beta$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $O_1$. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка $OO_1$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями (перпендикулярами). Прямая $OA$ является нормалью к плоскости $\alpha$, а прямая $OO_1$ по построению является нормалью к плоскости $\beta$. Следовательно, угол между прямыми $OA$ и $OO_1$ равен углу между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, то есть $\angle AOO_1 = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAO_1$. Поскольку $OO_1$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а точка $A$ принадлежит этой плоскости, то отрезок $O_1A$ также лежит в плоскости $\beta$. Отсюда следует, что $OO_1 \perp O_1A$, и, значит, $\triangle OAO_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу сферы, то есть $OA = 13$ см; острый угол $\angle AOO_1 = 60^\circ$; катет $OO_1$ — искомое расстояние.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\cos(\angle AOO_1) = \frac{OO_1}{OA}$.

Выразим искомое расстояние $OO_1$: $OO_1 = OA \cdot \cos(\angle AOO_1) = 13 \cdot \cos(60^\circ)$.

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, находим:

$OO_1 = 13 \cdot \frac{1}{2} = 6.5$ см.

Ответ: 6.5 см.