Номер 32, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 32, страница 24.

32 Плоскость $\alpha$ касается сферы в точке $A$. Докажите, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку $A$ и образующими равные углы с плоскостью $\alpha$, имеют равные радиусы.

Доказательство.

Пусть секущая плоскость $\beta$, проведённая через точку $A$, лежащую на сфере с центром $O$ и радиусом $R$, образует угол $\varphi$ с плоскостью $\alpha$, касающейся этой сферы в точке $A$. Тогда $OA \perp \alpha$. Пусть $O_1$ — центр, $r$ — радиус полученного сечения, $l$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, $O_1H$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.

1) Так как $l \perp O_1A$ ($l$ — касательная к окружности с центром $O_1$, $O_1A$ — радиус в точку касания, проведённый к точке касания), то $l \perp HA$ (теорема о трёх перпендикулярах). Поэтому $\angle O_1AH = \varphi$ (линейный угол между плоскостями).

2) Поскольку $OA \perp \alpha$ и $O_1H \perp \alpha$, то $OA \parallel O_1H$, и, следовательно, отрезки $AH, O_1A$ и $OA$ лежат в одной плоскости, а значит, $\angle OAO_1 = 90^\circ - \varphi$.

3) Из прямоугольного треугольника $AO_1O$ получаем $r = O_1A = R \sin \varphi$.

Итак, радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью $\beta$, зависит лишь от радиуса сферы и угла между плоскостями. Отсюда следует, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку $A$ и образующими равные углы с плоскостью $\alpha$, имеют равные радиусы.

Пусть секущая плоскость $\beta$, проведённая через точку A, лежащую на сфере с центром O и радиусом R, образует угол $\phi$ с плоскостью $\alpha$, касающейся этой сферы в точке A. Тогда $OA \perp \alpha$. Пусть $O_1$ — центр, $r$ — радиус полученного сечения, $l$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, $O_1H$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.

1) Так как $l \perp O_1A$ ($l$ — касательная к окружности сечения, $O_1A$ — радиус, проведённый в точку касания), то $l \perp HA$ (теорема о трех перпендикулярах). Поэтому $\angle O_1AH = \phi$ (линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$).

Ответ: В пропуски вставлены: «касательная», «сечения», «в точку», «о трех перпендикулярах», «$O_1AH$», «угол двугранного угла», «плоскостями $\alpha$ и $\beta$».

2) Поскольку $OA \perp \alpha$ и $O_1H \perp \alpha$, то $OA \parallel O_1H$, и, следовательно, отрезки $AH, O_1A$ и $OA$ лежат в одной плоскости, а значит, $\angle OAO_1 = 90^\circ - \phi$.

Ответ: В пропуски вставлены: «плоскости», «$90^\circ - \phi$».

3) Из прямоугольного треугольника $AOO_1$ получаем $r = O_1A = R \sin\phi$.

Ответ: В пропуски вставлены: «прямоугольного», «$R \sin\phi$».

Итак, радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью $\beta$, зависит лишь от радиуса сферы и угла между плоскостями. Отсюда следует, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку A и образующими равные углы с плоскостью $\alpha$, имеют равные радиусы.