Номер 25, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 25, страница 19.

25 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к этому радиусу плоскость. Найдите отношение площади полученного сечения к площади большого круга.

Решение.

Пусть точка $O$ — центр данного шара, $OB = R$ — его радиус, точка $O_1$ — середина радиуса $OB$. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к $OB$ и проходящей через точку $O_1$, есть радиусом $r = $ .

Из $OO_1A$ находим:

$r^2 = $ . Следовательно, $\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{бол. кр}}} = $

Ответ.

Решение.

Пусть $R$ — радиус шара. Большой круг шара — это сечение, проходящее через центр шара. Его радиус также равен $R$, а его площадь $S_{бол.кр}$ вычисляется по формуле:
$S_{бол.кр} = \pi R^2$

По условию, секущая плоскость проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему. Пусть радиус шара — это отрезок $OB$, где $O$ — центр шара. Тогда $OB = R$. Пусть точка $O_1$ — середина радиуса $OB$. Расстояние от центра шара до секущей плоскости равно длине отрезка $OO_1$:
$OO_1 = \frac{OB}{2} = \frac{R}{2}$

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Пусть радиус этого круга равен $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$, где $A$ — точка на окружности сечения и одновременно на поверхности шара. В этом треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу шара ($OA=R$), катет $OO_1$ равен расстоянию от центра шара до плоскости сечения ($OO_1 = \frac{R}{2}$), а второй катет $O_1A$ равен радиусу сечения ($O_1A = r$).

По теореме Пифагора:
$OA^2 = OO_1^2 + (O_1A)^2$
$R^2 = (\frac{R}{2})^2 + r^2$

Выразим $r^2$:
$r^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{4R^2 - R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

Площадь полученного сечения $S_{сеч}$ равна:
$S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \frac{3R^2}{4}$

Теперь найдем отношение площади полученного сечения к площади большого круга:
$\frac{S_{сеч}}{S_{бол.кр}} = \frac{\pi \frac{3R^2}{4}}{\pi R^2}$

Сократив $\pi R^2$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{S_{сеч}}{S_{бол.кр}} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.