Номер 23, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.3. Сфера - номер 23, страница 18.

23 Точки А и В лежат на сфере с центром О, радиус которой равен 15 см. Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если

$\angle AOB = \arccos \frac{3}{5}$.

Решение.

Пусть М — середина отрезка АВ (см. рис. к задаче 22), тогда $OM \perp$ ______ (задача 22), и, следовательно, ОМ — искомое ______.

Треугольник ОМВ ______ прямоугольный ($\angle M = ______$), поэтому $OM = OB \cdot \cos \angle$ ______ ,

$\angle BOM = \frac{1}{2} \angle AOB$. По условию $\cos \angle AOB = \frac{3}{5}$, следовательно, $\cos \frac{1}{2} \angle AOB = ______$ (так как $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = ______$). Итак, $OM = ______$ (см).

Ответ.

______ см.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный точками $A$, $B$ и центром сферы $O$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами сферы, поэтому $OA = OB = 15$ см. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Расстояние от центра сферы $O$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Проведем высоту $OM$ к основанию $AB$ треугольника $AOB$. Таким образом, $OM \perp AB$, и длина отрезка $OM$ является искомым расстоянием.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OM$, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла $AOB$ и медианой.

Так как $OM$ — высота, треугольник $OMB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OMB = 90^\circ$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике $OMB$ имеем:

$OM = OB \cdot \cos(\angle BOM)$

Так как $OM$ — биссектриса угла $AOB$, то:

$\angle BOM = \frac{1}{2} \angle AOB$

По условию задачи $\angle AOB = \arccos \frac{3}{5}$, следовательно, $\cos(\angle AOB) = \frac{3}{5}$.

Чтобы найти $\cos(\angle BOM)$, воспользуемся формулой косинуса половинного угла:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$

(Мы берем положительное значение корня, так как $\angle AOB$ — угол в треугольнике, значит $0^\circ < \angle AOB < 180^\circ$, и $0^\circ < \frac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ$, а косинус в первой четверти положителен).

Подставим значение $\cos(\angle AOB)$:

$\cos(\angle BOM) = \cos\left(\frac{1}{2}\angle AOB\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\angle AOB)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Теперь можем вычислить искомое расстояние $OM$, зная, что радиус $OB = 15$ см:

$OM = OB \cdot \cos(\angle BOM) = 15 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{30}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$OM = \frac{30 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{30\sqrt{5}}{5} = 6\sqrt{5}$ см.

Ответ: $6\sqrt{5}$ см.