Номер 17, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.2. Конус - номер 17, страница 12.

17 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $m$, а угол при основании равен $\phi$, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника. (Задача 365 учебника.)

Решение.

1) Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника ABC вокруг основания AC, состоит из двух ___________ с общим основанием, радиусом которого служит отрезок ___________ . Искомая площадь равна удвоенной площади ___________ поверхности конуса: $S = \_\_\_\_\_ S_{\text{бок}} = \_\_\_\_\_ OB \cdot \_\_\_\_\_$.

2) В прямоугольном треугольнике $AOB \ AB = \_\_\_\_\_$, $OB = \_\_\_\_\_ \cdot \sin \phi$. Следовательно, $S = \_\_\_\_\_ \cdot m \cdot \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_ \sin \phi$.

Ответ.___________

1) Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника ABC вокруг его основания AC, представляет собой фигуру, состоящую из двух одинаковых конусов с общим основанием. Образующими этих конусов являются боковые стороны треугольника AB и BC (длиной $m$), а радиусом общего основания — высота BO, проведенная из вершины B к основанию AC.

Площадь поверхности этого тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

В нашем случае радиус основания $r = BO$, а длина образующей $l = AB = m$. Так как конусы одинаковы, искомая площадь $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot (\pi \cdot BO \cdot AB) = 2\pi \cdot BO \cdot m$.

2) Для нахождения площади необходимо определить длину радиуса BO. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (так как высота BO в равнобедренном треугольнике перпендикулярна основанию AC).

В этом треугольнике известны:

• гипотенуза $AB = m$ (боковая сторона);
• угол при основании $\angle BAO = \phi$;
• катет BO, который нужно найти, является противолежащим углу $\phi$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BO}{AB}$

Отсюда выражаем длину BO:

$BO = AB \cdot \sin \phi = m \sin \phi$

Теперь подставим найденное выражение для BO в формулу для полной площади поверхности тела вращения:

$S = 2\pi \cdot (m \sin \phi) \cdot m = 2\pi m^2 \sin \phi$

Ответ: $2\pi m^2 \sin \phi$.