Номер 15, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.2. Конус - номер 15, страница 11.

15 Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и прилежащим углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение.

Осевым сечением конуса является _______ треугольник. По условию задачи один из углов этого треугольника равен _______, следовательно, это угол, противолежащий _______ стороне треугольника, а потому боковые стороны треугольника равны _______ см, т. е. образующая $l$ конуса равна _______ см. Из прямоугольного треугольника $POA$ находим радиус основания конуса:

$r = l \cdot \text{_______} = \text{_______} \frac{\sqrt{3}}{2} = \text{_______} \text{ (см).}$

Таким образом, $S_{\text{бок}} = \pi \text{_______} = \text{_______} \text{ (см²)}, S_{\text{кон}} = S_{\text{бок}} + \text{_______} = \text{_______} +$

$= \text{_______} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \text{_______} = \text{_______} \text{ (см²),}$

$+ (\text{_______})^2 \pi = 16 (\text{_______}) \pi \text{ (см²).}$

Ответ.

__________

Решение.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса ($l$), а основание равно диаметру основания конуса ($d=2r$).

По условию, в этом треугольнике есть сторона 8 см и прилежащий к ней угол $120^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был равен $120^{\circ}$, то сумма двух углов при основании была бы $240^{\circ}$, что невозможно для треугольника. Следовательно, угол $120^{\circ}$ является углом при вершине осевого сечения, а сторона 8 см — это боковая сторона, то есть образующая конуса. Таким образом, образующая конуса $l=8$ см.

Для нахождения площади полной поверхности конуса необходимо найти радиус его основания ($r$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, который является половиной осевого сечения. Он образован высотой конуса ($h$), его образующей ($l$) и радиусом основания ($r$). Угол, противолежащий катету $r$ (радиусу), равен половине угла при вершине осевого сечения: $\frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим радиус $r$: $r = l \cdot \sin(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь основания ($S_{осн}$) и площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

Площадь основания конуса вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$: $S_{осн} = \pi \cdot (4\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (16 \cdot 3) = 48\pi$ см².

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$: $S_{бок} = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 = 32\pi\sqrt{3}$ см².

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 48\pi + 32\pi\sqrt{3}$

Вынесем общий множитель $16\pi$ за скобки для упрощения выражения: $S_{полн} = 16\pi(3 + 2\sqrt{3})$ см².

Ответ: $16\pi(3 + 2\sqrt{3})$ см².