Номер 11, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.1. Цилиндр - номер 11, страница 9.

11 В цилиндр вписана треугольная призма (основания призмы вписаны в основания цилиндра), каждое ребро которой равно $a$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.

Высота $h$ данного цилиндра равна _________, радиус $r$ цилиндра равен _________ окружности, описанной около правильного __________________ со стороной ___________, т. е. $r = a \sqrt{\phantom{}} \text{__________}$.

$S_{бок} = 2\pi \underline{\hspace{4em}}$

$\underline{\hspace{4em}} = \underline{\hspace{4em}} \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\underline{\hspace{4em}} = \underline{\hspace{4em}} a^2$

Ответ. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

По условию задачи, в цилиндр вписана треугольная призма, у которой каждое ребро равно $a$. Это означает, что основания призмы — правильные (равносторонние) треугольники со стороной $a$, а боковые ребра, равные $a$, являются высотами призмы.

1. Найдем высоту цилиндра $h$.
Высота цилиндра равна высоте вписанной призмы, которая, в свою очередь, равна длине ее бокового ребра. Следовательно, высота цилиндра:

$h = a$

2. Найдем радиус основания цилиндра $r$.
Основание призмы (равносторонний треугольник со стороной $a$) вписано в окружность, являющуюся основанием цилиндра. Это значит, что радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.
Теперь подставим найденные значения $h = a$ и $r = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) \cdot a$

Выполнив умножение, получим:

$S_{бок} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} a^2$

Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3} a^2$.