Страница 9 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

11 В цилиндр вписана треугольная призма (основания призмы вписаны в основания цилиндра), каждое ребро которой равно $a$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.

Высота $h$ данного цилиндра равна _________, радиус $r$ цилиндра равен _________ окружности, описанной около правильного __________________ со стороной ___________, т. е. $r = a \sqrt{\phantom{}} \text{__________}$.

$S_{бок} = 2\pi \underline{\hspace{4em}}$

$\underline{\hspace{4em}} = \underline{\hspace{4em}} \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\underline{\hspace{4em}} = \underline{\hspace{4em}} a^2$

Ответ. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

По условию задачи, в цилиндр вписана треугольная призма, у которой каждое ребро равно $a$. Это означает, что основания призмы — правильные (равносторонние) треугольники со стороной $a$, а боковые ребра, равные $a$, являются высотами призмы.

1. Найдем высоту цилиндра $h$.
Высота цилиндра равна высоте вписанной призмы, которая, в свою очередь, равна длине ее бокового ребра. Следовательно, высота цилиндра:

$h = a$

2. Найдем радиус основания цилиндра $r$.
Основание призмы (равносторонний треугольник со стороной $a$) вписано в окружность, являющуюся основанием цилиндра. Это значит, что радиус основания цилиндра $r$ равен радиусу окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.
Теперь подставим найденные значения $h = a$ и $r = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) \cdot a$

Выполнив умножение, получим:

$S_{бок} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} a^2$

Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3} a^2$.

12 Радиус основания конуса равен 2 м, а осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите площадь сечения, проведённого через две образующие, угол между которыми равен 30°.

Решение.

По условию задачи треугольник APB ______, а так как PA = ______, то $\angle \mathit{PAO} = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике PAO катет $\mathit{PA} = \frac{\mathit{AO}}{\cos\text{______}} = \text{______}\sqrt{2}$ м.

Пусть $\angle \mathit{APC} = 30^\circ$, тогда сечение, проведённое через образующие PA и ______, является ______ треугольником, в котором $\mathit{PC} = \text{______} = 2\text{______}$ м. Поэтому $S_{\text{APC}} = \frac{1}{2}(\mathit{PA})^2\text{______} = \frac{1}{2}(\text{______})^2 \cdot \frac{1}{2} = \text{______}$ (м²).

Ответ.

______

Решение.

По условию задачи осевое сечение конуса, треугольник $APB$, является прямоугольным. Так как стороны $PA$ и $PB$ являются образующими конуса, они равны между собой ($PA = PB$). Это означает, что треугольник $APB$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором прямой угол находится при вершине $P$, то есть $\angle APB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $PAO$, где $PO$ — высота конуса, а $AO$ — радиус его основания. Этот треугольник является прямоугольным ($\angle POA = 90^\circ$). Угол $\angle PAO$ — это угол при основании в равнобедренном треугольнике $APB$, следовательно, он равен $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Длина радиуса основания $AO$ дана в условии и равна 2 м. Мы можем найти длину образующей $PA$, которая в треугольнике $PAO$ является гипотенузой: $PA = \frac{AO}{\cos(\angle PAO)} = \frac{2}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ м.

Искомое сечение представляет собой треугольник $APC$, образованный двумя образующими $PA$ и $PC$. Все образующие конуса равны, поэтому $PA = PC = 2\sqrt{2}$ м. Угол между этими образующими по условию равен $\angle APC = 30^\circ$.

Площадь треугольника $APC$ можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

$S_{APC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PC \cdot \sin(\angle APC) = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \sin(30^\circ)$.

Так как $(2\sqrt{2})^2 = 8$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{APC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 2$ м².

Ответ: $2$ м².