Страница 12 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

16 Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $\varphi$. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна $a$, а противолежащий угол равен $\alpha$. Найдите площадь полной поверхности конуса. (Задача 363 учебника.)

Решение.

1) Находим радиус основания конуса:

конуса: $r = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

2) Из прямоугольного треугольника POA находим образующую:

$l = PA = \frac{r}{\cos\varphi}$

$= \frac{a}{2\sin\alpha \cos\varphi}$

3) $S_{\text{бок}}$

$S_{\text{бок}} = \pi rl = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha \cos\varphi}$,

$S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha}$,

$S_{\text{кон}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha \cos\varphi} + \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha} \left(\frac{1}{\cos\varphi} + 1\right)$.

Ответ.

1) Находим радиус основания конуса

Окружность в основании конуса является описанной около вписанного в нее треугольника. Радиус описанной окружности $r$ связан со стороной треугольника $a$ и противолежащим углом $\alpha$ по следствию из теоремы синусов: $2r = \frac{a}{\sin\alpha}$.

Следовательно, радиус основания конуса:

$r = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

Ответ: $r = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

2) Из прямоугольного треугольника POA находим образующую

Рассмотрим прямоугольный треугольник POA, где P — вершина конуса, O — центр основания, A — точка на окружности основания. PO — высота конуса, OA — радиус основания ($r$), PA — образующая ($l$). Угол между образующей и плоскостью основания $\angle PAO$ по условию равен $\phi$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos\phi = \frac{OA}{PA} = \frac{r}{l}$.

Отсюда выражаем образующую: $l = \frac{r}{\cos\phi}$.

Подставляем найденное ранее выражение для $r$:

$l = \frac{\frac{a}{2\sin\alpha}}{\cos\phi} = \frac{a}{2\sin\alpha\cos\phi}$.

Ответ: $l = \frac{a}{2\sin\alpha\cos\phi}$.

3) Находим площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса $S_{кон}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади основания $S_{осн}$.

а) Вычисляем площадь боковой поверхности по формуле $S_{бок} = \pi r l$:

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{a}{2\sin\alpha} \cdot \frac{a}{2\sin\alpha\cos\phi} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha\cos\phi}$.

б) Вычисляем площадь основания (круга) по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2\sin\alpha}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha}$.

в) Складываем площади, чтобы найти полную поверхность:

$S_{кон} = S_{бок} + S_{осн} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha\cos\phi} + \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha}$.

Выносим общий множитель за скобки для упрощения выражения:

$S_{кон} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha} \left(\frac{1}{\cos\phi} + 1\right)$.

Ответ: $S_{кон} = \frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha} \left(1 + \frac{1}{\cos\phi}\right)$.

17 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $m$, а угол при основании равен $\phi$, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника. (Задача 365 учебника.)

Решение.

1) Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника ABC вокруг основания AC, состоит из двух ___________ с общим основанием, радиусом которого служит отрезок ___________ . Искомая площадь равна удвоенной площади ___________ поверхности конуса: $S = \_\_\_\_\_ S_{\text{бок}} = \_\_\_\_\_ OB \cdot \_\_\_\_\_$.

2) В прямоугольном треугольнике $AOB \ AB = \_\_\_\_\_$, $OB = \_\_\_\_\_ \cdot \sin \phi$. Следовательно, $S = \_\_\_\_\_ \cdot m \cdot \_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_ \sin \phi$.

Ответ.___________

1) Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника ABC вокруг его основания AC, представляет собой фигуру, состоящую из двух одинаковых конусов с общим основанием. Образующими этих конусов являются боковые стороны треугольника AB и BC (длиной $m$), а радиусом общего основания — высота BO, проведенная из вершины B к основанию AC.

Площадь поверхности этого тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

В нашем случае радиус основания $r = BO$, а длина образующей $l = AB = m$. Так как конусы одинаковы, искомая площадь $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot (\pi \cdot BO \cdot AB) = 2\pi \cdot BO \cdot m$.

2) Для нахождения площади необходимо определить длину радиуса BO. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (так как высота BO в равнобедренном треугольнике перпендикулярна основанию AC).

В этом треугольнике известны:

• гипотенуза $AB = m$ (боковая сторона);
• угол при основании $\angle BAO = \phi$;
• катет BO, который нужно найти, является противолежащим углу $\phi$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BO}{AB}$

Отсюда выражаем длину BO:

$BO = AB \cdot \sin \phi = m \sin \phi$

Теперь подставим найденное выражение для BO в формулу для полной площади поверхности тела вращения:

$S = 2\pi \cdot (m \sin \phi) \cdot m = 2\pi m^2 \sin \phi$

Ответ: $2\pi m^2 \sin \phi$.