Страница 8 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

9 Вершины A и B прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины C и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна $a$, $AB = a$, а угол между прямой BC и плоскостью цилиндра равен $60^\circ$. (Задача 397 учебника.)

Решение.

1) Пуcть $BB_1$ — образующая цилиндра, тогда отрезок $BB_1$ — перпендикуляр к плоскости основания и поэтому прямая $B_1C$ — проекция прямой BC на плоскость основания цилиндра. Следовательно, угол между прямой BC и плоскостью основания цилиндра равен углу $\angle BC B_1$. По условию $\angle BC B_1 = 60^\circ$, $BB_1 = a$, поэтому $B_1C = \frac{BB_1}{\tan 60^\circ} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

2) Так как по условию $BC \perp CD$, то $B_1C \perp CD$ (по обратной теореме о трех перпендикулярах), т. е. $\angle B_1CD = 90^\circ$. Поэтому отрезок $B_1D$ — диаметр основания цилиндра.

3) В прямоугольном треугольнике $B_1CD$ $CD = a$, $B_1C = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, следовательно, $B_1D = \sqrt{CD^2 + B_1C^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$. Поэтому радиус цилиндра равен $\frac{B_1D}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

1) Пусть $BB_1$ — образующая цилиндра. По определению образующая перпендикулярна плоскостям оснований, следовательно, отрезок $BB_1$ — перпендикуляр к плоскости нижнего основания. Прямая $B_1C$ является проекцией наклонной $BC$ на плоскость нижнего основания. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Таким образом, угол между прямой $BC$ и плоскостью основания цилиндра равен углу $\angle BCB_1$.

По условию задачи, $\angle BCB_1 = 60^\circ$. Также дано, что образующая равна $a$, значит $BB_1 = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCB_1$ (угол $\angle BB_1C = 90^\circ$). Найдем длину катета $B_1C$:

$B_1C = \frac{BB_1}{\text{tg}(\angle BCB_1)} = \frac{a}{\text{tg}(60^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

2) Так как $ABCD$ — прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, в частности $BC \perp CD$.

Применим обратную теорему о трех перпендикулярах. У нас есть плоскость (нижнее основание), наклонная $BC$ к этой плоскости, её проекция $B_1C$ и прямая $CD$, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной (точку C). Поскольку прямая в плоскости ($CD$) перпендикулярна наклонной ($BC$), она перпендикулярна и её проекции ($B_1C$).

Следовательно, $B_1C \perp CD$, и угол $\angle B_1CD = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $B_1CD$ является прямоугольным.

3) В прямоугольном треугольнике $B_1CD$ известны длины катетов:

• $CD = AB = a$ (как противоположные стороны прямоугольника).
• $B_1C = \frac{a}{\sqrt{3}}$ (найдено в пункте 1).

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $B_1D$:

$B_1D = \sqrt{CD^2 + B_1C^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{3a^2 + a^2}{3}} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Точки $B_1, C$ и $D$ лежат на окружности нижнего основания цилиндра. Прямоугольный треугольник $B_1CD$ вписан в эту окружность. Вписанный прямой угол ($\angle B_1CD$) опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза $B_1D$ является диаметром основания цилиндра.

Радиус цилиндра $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{1}{2} B_1D = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

10 Найдите радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр его осевого сечения равен 12 м.

Решение.

Пусть радиус цилиндра равен $r$, тогда высота цилиндра равна 6 $- 2r$,

$S_{\text{бок}} = 2\pi r(6 - 2r) = 4\pi(-r^2 + 3r)$.

Квадратный двучлен $-r^2 + 3r$ имеет корни $r = 0$ и $r = 3$.

Поэтому $S_{\text{бок}}$ имеет наибольшее значение, если $r = 1.5$ м.

Ответ. 1.5

Для нахождения радиуса цилиндра с наибольшей площадью боковой поверхности, необходимо выразить эту площадь как функцию от радиуса, а затем найти максимум этой функции.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания ($d=2r$) и высоте цилиндра ($h$).

Периметр осевого сечения $P$ равен $P = 2(d + h) = 2(2r + h)$. По условию задачи, периметр равен 12 м.

$2(2r + h) = 12$

Разделив обе части на 2, получим:

$2r + h = 6$

Из этого уравнения выразим высоту $h$ через радиус $r$.

Пусть радиус цилиндра равен r, тогда высота цилиндра равна $h = 6 - 2r$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим в нее полученное выражение для $h$, чтобы получить зависимость площади только от радиуса $r$:

$S_{бок}(r) = 2\pi r(6 - 2r) = 12\pi r - 4\pi r^2$.

Для удобства анализа и для соответствия формату в задании, вынесем за скобки множитель $4\pi$:

$S_{бок}$ = $2\pi r(6 - 2r) = 4\pi(3r - r^2) = 4\pi(-r^2 + 3r)$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ является квадратичной функцией от радиуса $r$. Поскольку коэффициент при $r^2$ отрицателен ($-4\pi < 0$), график этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция имеет максимум в своей вершине.

Чтобы найти значение $r$, при котором достигается максимум, можно найти вершину параболы $f(r) = -r^2 + 3r$. Координата вершины параболы находится посередине между ее корнями. Найдем корни, решив уравнение $-r^2 + 3r = 0$.

$-r(r - 3) = 0$

Квадратный двучлен $-r^2 + 3r$ имеет корни r = $0$ и r = $3$.

Абсцисса вершины параболы находится по формуле $r_{верш} = \frac{r_1 + r_2}{2}$:

$r_{верш} = \frac{0 + 3}{2} = 1,5$.

Это значение радиуса, при котором площадь боковой поверхности максимальна. Убедимся, что это значение физически возможно. Радиус должен быть больше нуля ($r > 0$), и высота тоже ($h > 0$).

$h = 6 - 2r > 0 \implies 6 > 2r \implies r < 3$.

Найденное значение $r = 1,5$ м удовлетворяет условиям $0 < r < 3$.

Поэтому $S_{бок}$ имеет наибольшее значение, если r = $1,5$ м.

Ответ: $1,5$ м.