Номер 10, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.1. Цилиндр - номер 10, страница 8.

Условие.

10 Найдите радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр его осевого сечения равен 12 м.

Решение.

Пусть радиус цилиндра равен $r$, тогда высота цилиндра равна 6 $- 2r$,

$S_{\text{бок}} = 2\pi r(6 - 2r) = 4\pi(-r^2 + 3r)$.

Квадратный двучлен $-r^2 + 3r$ имеет корни $r = 0$ и $r = 3$.

Поэтому $S_{\text{бок}}$ имеет наибольшее значение, если $r = 1.5$ м.

Ответ. 1.5

Решение.

Решение 2.

Для нахождения радиуса цилиндра с наибольшей площадью боковой поверхности, необходимо выразить эту площадь как функцию от радиуса, а затем найти максимум этой функции.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания ($d=2r$) и высоте цилиндра ($h$).

Периметр осевого сечения $P$ равен $P = 2(d + h) = 2(2r + h)$. По условию задачи, периметр равен 12 м.

$2(2r + h) = 12$

Разделив обе части на 2, получим:

$2r + h = 6$

Из этого уравнения выразим высоту $h$ через радиус $r$.

Пусть радиус цилиндра равен r, тогда высота цилиндра равна $h = 6 - 2r$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим в нее полученное выражение для $h$, чтобы получить зависимость площади только от радиуса $r$:

$S_{бок}(r) = 2\pi r(6 - 2r) = 12\pi r - 4\pi r^2$.

Для удобства анализа и для соответствия формату в задании, вынесем за скобки множитель $4\pi$:

$S_{бок}$ = $2\pi r(6 - 2r) = 4\pi(3r - r^2) = 4\pi(-r^2 + 3r)$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ является квадратичной функцией от радиуса $r$. Поскольку коэффициент при $r^2$ отрицателен ($-4\pi < 0$), график этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция имеет максимум в своей вершине.

Чтобы найти значение $r$, при котором достигается максимум, можно найти вершину параболы $f(r) = -r^2 + 3r$. Координата вершины параболы находится посередине между ее корнями. Найдем корни, решив уравнение $-r^2 + 3r = 0$.

$-r(r - 3) = 0$

Квадратный двучлен $-r^2 + 3r$ имеет корни r = $0$ и r = $3$.

Абсцисса вершины параболы находится по формуле $r_{верш} = \frac{r_1 + r_2}{2}$:

$r_{верш} = \frac{0 + 3}{2} = 1,5$.

Это значение радиуса, при котором площадь боковой поверхности максимальна. Убедимся, что это значение физически возможно. Радиус должен быть больше нуля ($r > 0$), и высота тоже ($h > 0$).

$h = 6 - 2r > 0 \implies 6 > 2r \implies r < 3$.

Найденное значение $r = 1,5$ м удовлетворяет условиям $0 < r < 3$.

Поэтому $S_{бок}$ имеет наибольшее значение, если r = $1,5$ м.

Ответ: $1,5$ м.