Номер 3, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.1. Цилиндр - номер 3, страница 4.

Условие.

3 Через образующую AA₁ цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен φ. (Задача 331 учебника.)

Решение.

На рисунке изображены образующая AA₁ и секущие _______ CAA₁C₁ и BAA₁B₁, причём плоскость BAA₁B₁ проходит через ось _______.

1) Образующая AA₁ _______ к плоскости ABC основания цилиндра, следовательно, AA₁ _______ AB и AA₁ _______ AC. Поэтому ∠BAC _______ — угол двугранного угла, образованного секущими _______. По условию задачи ∠BAC = _______.

2) Так как плоскость BAA₁B₁ проходит через _______ цилиндра, то отрезок AB _______ основания, и поэтому ∠ACB = 90°. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = _______ cos φ.

3) $\frac{S_{CAA_1C_1}}{S_{BAA_1B_1}} = \frac{AC \cdot \text{_______}}{ \text{_______} \cdot AA_1} = \frac{AC}{\text{_______}} = \text{_______}$

Ответ.

Решение.

Решение 2.

На рисунке изображены образующая $AA_1$ и секущие плоскости $CAA_1C_1$ и $BAA_1B_1$, причём плоскость $BAA_1B_1$ проходит через ось цилиндра.

1) Образующая $AA_1$ перпендикулярна к плоскости $ABC$ основания цилиндра, следовательно, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AC$. Поэтому $\angle BAC$ — линейный угол двугранного угла, образованного секущими плоскостями. По условию задачи $\angle BAC = \phi$.

2) Так как плоскость $BAA_1B_1$ проходит через ось цилиндра, то отрезок $AB$ — диаметр основания, и поэтому $\angle ACB = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC = AB \cos\phi$.

3) Сечения $CAA_1C_1$ и $BAA_1B_1$ являются прямоугольниками, площади которых равны $S_{CAA_1C_1} = AC \cdot AA_1$ и $S_{BAA_1B_1} = AB \cdot AA_1$. Отношение их площадей: $\frac{S_{CAA_1C_1}}{S_{BAA_1B_1}} = \frac{AC \cdot AA_1}{AB \cdot AA_1} = \frac{AC}{AB} = \cos\phi$.

Ответ: $\cos\phi$.