Номер 1, страница 3 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.1. Цилиндр - номер 1, страница 3.

Условие.

1 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) радиус цилиндра;

в) площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.

Осевое сечение цилиндра представляет собой _______________, стороны $BC$ и $AD$ которого являются _______________ цилиндра, а две другие стороны _______________ оснований цилиндра. По условию задачи $BD$ = _______________ см, $\angle DBC$ = _______________.

а) Высота цилиндра равна его _______________, а $BC = BD \cdot \cos \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}} \cdot \frac{1}{2} = \underline{\hspace{2cm}}$ (см), т. е. высота _______________ равна _______________ см.

б) Радиус цилиндра — это _______________ основания цилиндра: $OC = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}BD \cdot \underline{\hspace{2cm}} = \frac{1}{2} \cdot \underline{\hspace{2cm}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\underline{\hspace{0.5cm}}} = \underline{\hspace{2cm}}$ (см).

в) Площадь боковой _______________ цилиндра равна произведению _______________ окружности _______________ цилиндра на _______________ цилиндра, т. е. $S_{бок} = 2\pi \underline{\hspace{1cm}} h = \underline{\hspace{2cm}} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \underline{\hspace{2cm}} = \underline{\hspace{2cm}} \sqrt{3} \pi \text{ (см}^2\text{)}.$

Ответ.

а) _______________ см; б) _______________ см; в) _______________ см$^2$.

Решение.

Решение 2.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, который на рисунке обозначен как `ABCD`. Стороны `AD` и `BC` являются образующими цилиндра, а их длина равна высоте цилиндра `h`. Стороны `AB` и `DC` являются диаметрами оснований цилиндра, их длина равна `2r`, где `r` — радиус основания.

По условию задачи, диагональ осевого сечения `BD` равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей `BC` равен `60°`, то есть $\angle DBC = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `DBC` (поскольку `ABCD` — прямоугольник, $\angle BCD = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза `BD = 48` см, а один из острых углов $\angle DBC = 60^\circ$.

а) высоту цилиндра;

Высота цилиндра `h` равна длине образующей `BC`. В прямоугольном треугольнике `DBC` катет `BC` является прилежащим к углу `DBC`. Найдем его длину, используя определение косинуса:

$h = BC = BD \cdot \cos(\angle DBC)$

Подставляя известные значения, получаем:

$h = 48 \cdot \cos(60^\circ) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

б) радиус цилиндра;

Радиус цилиндра `r` равен половине диаметра основания, то есть `r = DC / 2`. В прямоугольном треугольнике `DBC` катет `DC` является противолежащим углу `DBC`. Найдем его длину, используя определение синуса:

$DC = BD \cdot \sin(\angle DBC)$

Подставляя известные значения, получаем:

$DC = 48 \cdot \sin(60^\circ) = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус цилиндра:

$r = \frac{DC}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.

в) площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$.

Подставим найденные значения высоты $h = 24$ см и радиуса $r = 12\sqrt{3}$ см в формулу:

$S_{бок} = 2\pi \cdot (12\sqrt{3}) \cdot 24 = 2 \cdot 12 \cdot 24 \cdot \pi\sqrt{3} = 576\sqrt{3}\pi$ см².

Ответ: $576\sqrt{3}\pi$ см².