Номер 2, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.1. Цилиндр - номер 2, страница 4.

2 Концы отрезка BC лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен 10 дм, BC = 13 дм, а расстояние между прямой BC и осью цилиндра равно 8 дм. Найдите высоту цилиндра. (Задача 326 учебника.)

Решение.

1) Проведём образующую AB цилиндра (выполните построение на рисунке). Так как $OO_1 \parallel AB$, то прямая $OO_1$ _____ плоскости $ABC$ (по параллельности прямой и плоскости).

2) Проведём перпендикуляр OK к прямой AC (выполните построение на рисунке). Так как OK лежит в плоскости $AOC$ основания, $OO_1$ _____ $ABC$, то $OO_1$ _____ $OK$.

Итак, $OO_1$ _____ $AB$ и $OO_1$ _____ $OK$, следовательно, $OK$ _____. Таким образом, прямая $OK$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым $AC$ и _____ плоскости _____, следовательно, $OK$ _____ $ABC$ (по _____ прямой и плоскости).

Поэтому расстояние между прямыми $AB$ и $OO_1$ равно _____, т. е. $OK$ = _____ дм.

3) По условию задачи $AO$ = _____ дм (радиус _____).

В прямоугольном треугольнике $AKO$ катет $AK$ = $\sqrt{AO^2 - 8^2}$ = _____ (дм), поэтому $AC$ = _____ дм.

4) В треугольнике $ABC$ катет $AB$ = $\sqrt{BC^2 - AC^2}$ = $\sqrt{13^2 - AC^2}$ = _____ (дм).

Ответ.

Ответ. _____ дм.

1) Проведём образующую AB цилиндра, где точка A лежит на том же основании, что и точка C. Образующая AB параллельна оси цилиндра $OO_1$ и перпендикулярна плоскости основания. Длина AB равна высоте цилиндра. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, B, C. Так как прямая AB, лежащая в этой плоскости, параллельна оси $OO_1$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, ось $OO_1$ параллельна плоскости ABC.

2) Проведём в плоскости основания перпендикуляр OK из центра O к хорде AC. Расстояние между скрещивающимися прямыми BC и $OO_1$ равно расстоянию от прямой $OO_1$ до параллельной ей плоскости ABC. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость ABC. Докажем, что OK является этим перпендикуляром.
Так как ось $OO_1$ перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит отрезок OK, то $OO_1 \perp OK$.
Поскольку образующая $AB \parallel OO_1$, то из $OO_1 \perp OK$ следует, что $AB \perp OK$.
Таким образом, прямая OK перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости ABC: AC (по построению) и AB. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $OK \perp ABC$.
Следовательно, длина отрезка OK равна расстоянию между осью $OO_1$ и прямой BC, которое по условию задачи равно 8 дм.
Ответ: $OK = 8$ дм.

3) По условию задачи радиус основания цилиндра $AO = 10$ дм. Рассмотрим треугольник AKO в плоскости основания. Он является прямоугольным, так как $OK \perp AC$. По теореме Пифагора найдём катет AK:
$AK = \sqrt{AO^2 - OK^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ дм.
Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, $AC = 2 \cdot AK = 2 \cdot 6 = 12$ дм.
Ответ: $AC = 12$ дм.

4) Рассмотрим треугольник ABC. Так как образующая AB перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку A. Следовательно, $AB \perp AC$, и треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом A. Высота цилиндра H равна длине катета AB. По теореме Пифагора:
$H = AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ дм.
Ответ: Высота цилиндра равна 5 дм.