Номер 14, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс рабочая тетрадь Бутузов, Глазков

4.2. Конус - номер 14, страница 10.

14 Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с радиусом 4 м и дугой в 90°. Найдите радиус основания и высоту конуса.

Решение.

Обозначим радиус основания дан-ного ____ буквой $r$, высоту — буквой $h$, образующую — буквой $l$. По условию $l = 4$ м, площадь развёртки (сектора) равна $\frac{l^2}{360} \cdot 90 = 4 \pi м^2$.

Поэтому $S_{бок} = \pi r l = 4\pi$, откуда получаем $r = 1$ м.

Из прямоугольного треугольни-ка $POA$ находим: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$ (м).

Ответ. $r = 1; h = \sqrt{15}$

Обозначим радиус основания конуса через $r$, высоту — через $h$, а образующую — через $l$.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Из условия задачи известно, что радиус сектора равен 4 м, а его центральный угол составляет $90^\circ$.

Радиус основания

Радиус сектора равен образующей конуса, следовательно, $l = 4$ м.

Длина дуги сектора ($L$) вычисляется по формуле: $L = \frac{2\pi l \alpha}{360^\circ}$, где $\alpha$ — центральный угол сектора.

Подставим известные значения:

$L = \frac{2\pi \cdot 4 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{8\pi}{4} = 2\pi$ м.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса ($C$), которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Приравниваем $L = C$:

$2\pi r = 2\pi$

Отсюда находим радиус основания:

$r = 1$ м.

Высота конуса

Высота конуса $h$, радиус его основания $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Выразим отсюда высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения $l = 4$ м и $r = 1$ м:

$h = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$ м.

Ответ: $r = 1$ м; $h = \sqrt{15}$ м.